La pregunta original era “¿Cómo pruebo que si una matriz al cuadrado es igual a sí misma, es igual a 1 o 0?”, Y mi respuesta fue:
No puedes probarlo, porque no es cierto. Aquí hay un contraejemplo:
[matemáticas] \ left (\ begin {array} {cc}
\ tfrac {1} {2} y \ tfrac {1} {2} \\
\ tfrac {1} {2} y \ tfrac {1} {2}
\ end {array} \ right) ^ {2} = \ left (\ begin {array} {cc}
\ tfrac {1} {2} y \ tfrac {1} {2} \\
\ tfrac {1} {2} y \ tfrac {1} {2}
\ end {array} \ right) [/ math]
Después de que el OP dijo que se refería al determinante, mi respuesta cambió a:
Deje que [math] | A | [/ math] sea el determinante de la matriz [math] A [/ math]. Entonces, dado que los productos de los determinantes obedecen la relación [matemáticas] | AB | = | A || B | [/ matemáticas], tenemos:
[matemáticas] A ^ 2 = A \ Rightarrow | A ^ 2 | = | A | \ Rightarrow | A | ^ 2 = | A |. [/ Math]
Deje [math] a = | A | [/ math], entonces tenemos la ecuación cuadrática
[matemáticas] a ^ 2-a = 0 \ Flecha derecha a (a-1) = 0. [/ matemáticas]
Las únicas soluciones son [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] a = 1 [/ matemáticas].
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