¿Cuál es el valor mínimo de [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 -6x – 8y + 26 [/ matemáticas] donde P (x, y) satisface la ecuación [matemáticas] x ^ 2 -xy +2 | y | -4 = 0? [/ Matemáticas]

Answer 1

La expresión [matemáticas] E (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2–6x-8y + 26 [/ matemáticas] se puede escribir como

[matemáticas] = (x-3) ^ 2 + (y-4) ^ 2 + 1 [/ matemáticas]. Esto se parece a la ecuación de un círculo, pero es solo una expresión.

En un círculo [matemática] (x-3) ^ 2 + (y-4) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemática] la expresión tiene el valor [matemática] r ^ 2 + 1. [/ Matemática]

Para un punto en la curva dada, el valor de E será mínimo cuando el círculo toque la curva.

Ahora

(1) Para [matemáticas] y \ geq 0 [/ matemáticas], [matemáticas] x ^ 2-xy +2 | y | -4 = 0 \ flecha derecha x ^ 2-xy + 2y -4 = 0 [/ matemáticas]

es decir (x-2) (x-y + 2) = 0 O x = 2 o y = x + 2 para ambas partes sobre el eje x es válido.

(a) para x = 2, el radio del círculo con el centro (3,4) tocándolo tendrá un radio r = 3–2 = 1

(b) Para y = x + 2, el círculo que lo toca tendrá [matemáticas] r = | \ frac {3–4 + 2} {\ sqrt {1 + 1}} | = \ frac {1} {\ sqrt 2 } [/ math] esto es más pequeño que el de (a)

(2) Para [matemáticas] y \ leq [/ matemáticas] 0, [matemáticas] x ^ 2-xy +2 | y | -4 = 0 \ flecha derecha x ^ 2-xy -2y -4 = 0 [/ matemáticas]

es decir (x + 2) (xy-2) = 0 O x = -2 o y = xy-2 para ambas partes debajo del eje x es válido.

No hay posibilidad de círculo con el centro (3,4) tocando ninguno de estos.

Entonces podemos concluir que el radio mínimo = [matemática] \ frac {1} {\ sqrt 2} [/ matemática] y [matemática] r ^ 2 = \ frac {1} {2} [/ matemática]

Entonces [matemáticas] E (x, y) _ {min} = r ^ 2 + 1 = \ frac {1} {2} +1 [/ matemáticas] = 1.5

Answer 2

para y> 0: x ^ 2 – x • y + 2 • y – 4 = 0

(x — 2) • (x + 2) —y • (x — 2) = 0

x — 2 = 0 >> x = 2 y x + 2 —y = 0 e y = 4

para y <0: x = —2 e y = —4

valor mínimo para P (x, y) yx = 2 e y = 4, valor mínimo = 2

Answer 3

min (x ^ 2 + y ^ 2 -6x – 8y + 26) = 2
para x = 2; y = 4

posible.
Espero eso ayude.