Personalmente, considero que la prueba que se hace a continuación es la más fácil.
Dejar
[matemáticas]
y = cos (x) + i sen (x) [/ math] para algunos [math] x \ en R
[/matemáticas]
Diferenciando ambos lados wrt x
[matemáticas]
\ frac {dy} {dx} = -sin (x) + i cos (x)
[/matemáticas]
Ahora, como [matemáticas] i ^ 2 = -1 [/ matemáticas], podemos tomar i common de RHS
- ¿Cuándo usaré álgebra fuera de clase?
- ¿Cuántas funciones sobreyectivas existen desde A = {1,2,3,4,5} hasta B = {1,2,3}?
- ¿Cuál es el valor mínimo de [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 -6x – 8y + 26 [/ matemáticas] donde P (x, y) satisface la ecuación [matemáticas] x ^ 2 -xy +2 | y | -4 = 0? [/ Matemáticas]
- Si fuera a diferenciar la fórmula de dilatación del tiempo, ¿qué significaría la respuesta?
- Si [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] son reales y [matemática] | a-1 | + | b-1 | [/ matemática] [matemática ] + [/ matemática] [matemática] | c-1 | + | a + 1 | [/ matemática] [matemática] + [/ matemática] [matemática] | b + 1 | + | c + 1 | = 12 [/ matemáticas], ¿cómo pruebo que [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 \ geq12 [/ matemáticas]?
[matemáticas]
\ frac {dy} {dx} = i (i sen (x) + cos (x))
[/matemáticas]
El RHS anterior puede reescribirse en términos de y como [matemática] y = cos (x) + sin (x) [/ matemática]
[matemáticas]
\ frac {dy} {dx} = iy
[/matemáticas]
Reorganizando la ecuación anterior
[matemáticas]
\ frac {dy} {y} = i dx
[/matemáticas]
Tomando integral en ambos lados, obtenemos
[matemáticas]
ln (y) = ix
[/matemáticas]
(la constante de integración resulta ser 0 y puede resolverse tomando x = 0)
lo que da
[matemáticas]
y = e ^ {ix}
[/matemáticas]
es decir
[matemáticas]
e ^ {ix} = cos x + i sen x
[/matemáticas]
Alternativamente,
Dejar
[matemáticas]
f (x) = \ frac {cos (x) + i sin (x)} {e ^ {ix}}
[/matemáticas]
que se define en todas partes y, por lo tanto, se puede diferenciar. Al evaluar el diferencial, resulta ser 0.ie
[matemáticas]
f ‘(x) = 0
[/matemáticas]
Por lo tanto, f (x) es constante en todas partes.
Ahora,
[matemáticas] f (0) = 1 [/ matemáticas]
Por lo tanto, [matemática] f (x) = 1 [/ matemática] [matemática] \ forall x \ en R [/ matemática]
es decir
[matemáticas]
\ frac {cos (x) + i sin (x)} {e ^ {ix}} = 1 [/ math] [math] \ forall x \ in R
[/matemáticas]
o
[matemáticas]
e ^ {ix} = cos x + i sen x
[/matemáticas]
O puede encontrar pruebas alternativas (y mejores) en Wikpedia (fórmula de Euler) utilizando la serie y los límites de Maclaurin.