Existe un número entero positivo más pequeño [matemática] N [/ matemática] tal que [matemática] \ dfrac {(x_1 + 2x_2… + 2014x_ {2014}) ^ 2} {(x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2… + x_ {2014 } ^ 2)} \ leq N [/ math] para todas las secuencias reales [math] \ {x_i, i = 1,…, 2014 \} [/ math]. ¿Cuál es la suma de los dígitos de [matemáticas] N [/ matemáticas]?

Answer 1

Deje [math] \ vec {x} = [x_1, x_2, \ ldots, x_ {2014}] [/ math] y [math] \ vec {v} = [1,2, \ ldots, 2014] [/ math ] be [math] 2014 [/ math] -dimensional vectores. Sea [math] \ theta [/ math] el ángulo entre los vectores [math] \ vec {x} [/ math] y [math] \ vec {v} [/ math].

Entonces, [matemáticas] x_1 + 2x_2 + \ cdots + 2014x_ {2014} [/ matemáticas] [matemáticas] = \ vec {x} \ cdot \ vec {v} = | \ vec {x} | | \ vec {v} | \ cos \ theta [/ math] y [math] x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + \ cdots + x_ {2014} ^ 2 = | \ vec {x} | ^ 2 [/ math].

Por lo tanto, [matemáticas] \ dfrac {(x_1 + 2x_2… + 2014x_ {2014}) ^ 2} {(x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2… + x_ {2014} ^ 2)} [/ matemáticas] [matemáticas] = \ dfrac {| \ vec {x} | ^ 2 | \ vec {v} | ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta} {| \ vec {x} | ^ 2} = | \ vec {v} | ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta \ le | \ vec {v} | ^ 2 [/ math]

La igualdad se cumple si f [matemáticas] \ theta = 0 [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] \ vec {x} [/ matemáticas] es algún múltiplo de [matemáticas] \ vec {v} [/ matemáticas].

Por lo tanto, [matemáticas] N = | \ vec {v} | ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + \ cdots + 2014 ^ 2 [/ matemáticas] [matemáticas] = \ dfrac {2014 \ cdot 2015 \ cdot 4029} {6} = 2725088015 [/ matemáticas],

y la suma de los dígitos de [matemática] N [/ matemática] es [matemática] 32 [/ matemática].

Answer 2

Sigo obteniendo un dígito de 2044323288. Factoricé el denominador x ^ 2 (2014), y el numerador es x ^ 2 (2015) ^ 2 (1007) ^ 2 a través de la fórmula de suma de series aritméticas. ¿Qué estoy haciendo mal? mi respuesta es 36 para todos los dígitos.