¿Es posible derivar la expresión analítica de una función mediante su expansión de la serie Taylor?

Answer 1

Una función no está determinada únicamente por su serie Taylor a menos que agregue la restricción de que la función es analítica.

Considere [math] f (x) = \ begin {cases} e ^ {- 1 / x ^ 2} & \ text {if} \ x \ neq 0 \\ 0 & \ text {if} \ x = 0 \ end {casos} [/ matemática] y [matemática] g (x) = 0 [/ matemática]. Puede ver que [math] f ^ {(n)} (0) = g ^ {(n)} (0) = 0 [/ math] para todos los enteros no negativos [math] n [/ math]. Por lo tanto, [math] f [/ math] y [math] g [/ math] tienen la misma serie de Taylor sobre [math] x = 0 [/ math].

Con la restricción de que la función es analítica, la función está determinada únicamente por su serie Taylor, pero no necesariamente tiene una buena expresión de forma cerrada.

Sin embargo, en su caso, tenemos [math] f (x) = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {(- 1) ^ nx ^ n} {n!} [/ Math] [math] = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {(- x) ^ n} {n!} [/ math].

Esta es simplemente la serie de Taylor para [matemática] e ^ x [/ matemática], pero evaluada en [matemática] -x [/ matemática] en lugar de [matemática] x [/ matemática]. Por lo tanto, [matemáticas] f (x) = e ^ {- x} [/ matemáticas].

Answer 2

Sí, siempre que la función sea realmente analítica. En este caso, denotando [math] f ^ {(n)} [/ math] las derivadas sucesivas de [math] f [/ math],
[matemáticas] f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (xa) ^ n [/ matemáticas]
se mantiene para todos [math] x [/ math] en el disco de convergencia de la serie.

Answer 3

En general, es difícil obtener una expresión de forma cerrada para la serie (suponiendo que eso es lo que quiere decir con ‘la expresión analítica’). A veces uno puede realizar varias operaciones en la serie (reemplazar x con kx, donde k es una constante adecuada (posiblemente compleja); multiplicar por una potencia de x, agregar algunas series, diferenciar, integrar, …) para llegar a alguna serie que es reconocida como la serie Taylor de alguna función conocida.

Pero también hay funciones perfectamente analíticas que simplemente no tienen una expresión ‘más simple’ que la expresión como una serie, o donde uno define convenientemente una función como ‘la función analítica que tiene esta serie de Taylor’.