¿Hay alguna restricción que [math] n \ ge 0 [/ math] o algo así? De lo contrario, si hay alguna solución [matemática] n [/ matemática], entonces [matemática] n-rc [/ matemática] es una solución para todos los enteros [matemática] r [/ matemática], por lo que no hay un valor mínimo para [matemáticas] n [/ matemáticas].
Aunque no podemos encontrar un mínimo, aún podemos intentar encontrar una solución.
Queremos que [math] m = \ dfrac {an + b} {c} [/ math] sea un número entero. Esto es equivalente a encontrar enteros [matemática] m, n [/ matemática] tal que [matemática] -an + cm = b [/ matemática].
Sea [math] k = \ gcd (a, c) [/ math] y sea [math] a = ka_1 [/ math] y [math] c = kc_1 [/ math], donde [math] \ gcd (a_1, c_1) = 1 [/ matemáticas]. Entonces, necesitamos encontrar [matemática] m, n [/ matemática] tal que [matemática] -ka_1n + kc_1m = b [/ matemática].
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- Álgebra lineal: ¿Cómo demuestro que si una matriz al cuadrado es igual a sí misma, su determinante es igual a [matemática] 1 [/ matemática] o [matemática] 0 [/ matemática]?
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- Existe un número entero positivo más pequeño [matemática] N [/ matemática] tal que [matemática] \ dfrac {(x_1 + 2x_2… + 2014x_ {2014}) ^ 2} {(x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2… + x_ {2014 } ^ 2)} \ leq N [/ math] para todas las secuencias reales [math] \ {x_i, i = 1,…, 2014 \} [/ math]. ¿Cuál es la suma de los dígitos de [matemáticas] N [/ matemáticas]?
- ¿Cuáles son los métodos que uno puede probar [matemáticas] e ^ {ix} = \ cos (x) + i \ sin (x) [/ matemáticas]?
Si [math] b [/ math] no es divisible por [math] k [/ math], entonces no hay soluciones. De lo contrario, deje que [math] b = kb_1 [/ math]. Ahora, queremos soluciones para [math] -ka_1n + kc_1m = kb_1 [/ math], es decir, [math] -a_1n + c_1m = b_1 [/ math].
Entonces, necesitamos un número entero [math] n [/ math] tal que [math] a_1n + b_1 \ equiv 0 \ pmod {c_1} [/ math]. Como [math] \ gcd (a_1, c_1) = 1 [/ math], podemos encontrar un número entero [math] a_1 ^ {- 1} [/ math] tal que [math] a_1a_1 ^ {- 1} \ equiv 1 \ pmod {c_1} [/ math]. (Esto se puede hacer usando el Algoritmo Euclidiano). Entonces, cualquier [matemática] n [/ matemática] tal que [matemática] n \ equiv -b_1a_1 ^ {- 1} \ pmod {c_1} [/ matemática] es una solución.