Tenemos, [matemáticas] f (x) = ({x} ^ {3} -x) q (x) + R (x) [/ matemáticas]
donde [math] f (x) [/ math] y [math] q (x) [/ math] son polinomios con coeficientes enteros.
Como [math] f (n) [/ math] es divisible por [math] 3 [/ math] para todos los enteros [math] n [/ math], tenemos
[matemáticas] f (n) = ({n} ^ {3} -n) q (n) + R (n) [/ matemáticas]
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Pero los términos en el lado derecho deben tener la forma [matemática] 3g (n) [/ matemática] (para satisfacer la condición dada) donde [matemática] g (n) [/ matemática] es algún polinomio con coeficientes enteros.
Ahora tenga en cuenta que,
[matemáticas] {n} ^ {3} -n = n ({n} ^ {2} -1) = n (n-1) (n + 1) [/ matemáticas]
Esto no es más que el producto de tres enteros consecutivos que siempre es divisible por 3.
Por lo tanto, para que todo el RHS sea divisible por 3, tenemos
[matemáticas] f (n) = 3 (kq (n) + r (n)) = 3g (n) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ por lo tanto R (x) = 3r (x) [/ matemáticas]
QED