Según Abel’s Proof de Peter Pesic (MIT Press, 2003), hay un resultado en los Principia de Newton (publicado por primera vez en 1687) que establece que [math] \ pi [/ math] es trascendental. Newton no lo expresó de esa manera (el concepto de número trascendental aún no se había formulado) y pocas personas apreciaron la importancia del razonamiento de Newton hasta que fue descubierto nuevamente por el matemático soviético VI Arnold tres siglos después.
Este no es un procedimiento general (no creo que sea de ninguna utilidad para probar la trascendencia de [matemáticas] e [/ matemáticas]), pero el resultado es tan fascinante y tan poco conocido que me gustaría para explicarlo aquí con cierto detalle.
Lo que a Newton realmente le interesaba era si se podía encontrar una fórmula algebraica para la posición de un planeta en función del tiempo, utilizando las leyes primera y segunda de Kepler (ver la ecuación de Kepler). Newton demostró que esto no era posible. Su argumento está contenido en el lema 28, sección VI, en el Libro I de los Principia (ver el teorema de Newton sobre óvalos).
El argumento de Newton es notablemente simple. Arnold señala que es la primera prueba de imposibilidad desde los antiguos griegos y que es un argumento topológico , ofrecido mucho antes de que la topología se desarrollara como una rama de las matemáticas.
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Considere cualquier óvalo simple y liso (es decir, una curva cerrada que no se interseque y que tenga una curvatura finita en todas partes). Elija cualquier punto [matemática] O [/ matemática] dentro del óvalo. Dibuje un rayo que se extienda desde [math] O [/ math] hasta el infinito en cualquier dirección arbitraria, y llame a [math] P_0 [/ math] el punto de intersección del óvalo con el rayo. Ahora deje que el rayo gire en el sentido de las agujas del reloj con una velocidad angular constante, manteniendo su origen fijo en [math] O [/ math]. Después de un tiempo, el rayo se cruzará con el óvalo en el punto [matemáticas] P_1 [/ matemáticas]. Más tarde, el rayo se cruzará con el óvalo en [matemáticas] P_2 [/ matemáticas], etc.
Ahora, en cada rayo, dibuje un punto [matemática] A_i [/ matemática] que se mueva radialmente hacia afuera con una velocidad instantánea proporcional al cuadrado de la distancia [matemática] OP_i [/ matemática]. La distancia [matemática] OA_i [/ matemática] es, por lo tanto, proporcional al área dentro del óvalo que el rayo ha barrido desde [matemática] P_0 [/ matemática] a [matemática] P_i [/ matemática]. (Recuerde que en las coordenadas polares [math] (r, \ theta) [/ math] el elemento de área es [math] dA = r ^ 2 d \ theta / 2 [/ math]).
Obviamente, si el rayo gira una vez, el punto [matemáticas] A_i [/ matemáticas] se habrá movido hacia afuera en una distancia proporcional al área total del óvalo (distancia [matemáticas] A_1 A’_1 [/ matemáticas] en el diagrama). Si el rayo sigue dando vueltas, siempre con una velocidad angular constante, la secuencia de puntos [matemática] A_i [/ matemática] dibujará una espiral infinita. Esta espiral se muestra en gris en el diagrama. (No está dibujado con mucha precisión, pero fue lo mejor que pude hacer con Adobe Illustrator a corto plazo …)
Pensemos en la ecuación para esa espiral en coordenadas cartesianas, [matemáticas] f (x, y) = 0 [/ matemáticas]. Newton demostró que la función [matemáticas] f (x, y) [/ matemáticas] no podía ser un polinomio con un número finito de términos. Por lo tanto, la espiral no es “algebraica” y el óvalo no es “algebraicamente integrable”.
Por qué no? Considere las intersecciones de la espiral con la línea horizontal [matemáticas] y = 0 [/ matemáticas]. Estas son soluciones a la ecuación [matemáticas] f (x, 0) = 0 [/ matemáticas]. Si la espiral fuera algebraica, estas serían las raíces de un polinomio de grado finito en [matemáticas] x [/ matemáticas]. Hay un número infinito de intersecciones de la espiral con la línea horizontal, pero un polinomio no puede tener más raíces que su grado. Por lo tanto, la espiral no es algebraica.
Ahora considere el caso particular en el que el óvalo es un círculo de radio [matemática] R [/ matemática] y el punto [matemático] O [/ matemático] es el centro de ese círculo. En este caso, la espiral es una simple espiral de Arquímedes (aritmética). El área total del círculo es [matemática] \ pi R ^ 2 [/ matemática], que corresponde a la coordenada [matemática] x [/ matemática] en uno de los puntos donde la espiral se cruza con la horizontal.
Aclaración (agregado el 25 de abril ’15): Tenga en cuenta que el área barrida por el rayo [matemática] OP_i [/ matemática] dentro del círculo está representada por la distancia [matemática] OA_i [/ matemática] a lo largo de la espiral. Dado que el área y la distancia son cantidades físicas con diferentes dimensiones, esto solo tiene sentido después de una selección de unidades . La distancia [matemática] OA_i [/ matemática] dependerá del radio del círculo [matemática] R [/ matemática] y de la constante de proporcionalidad elegida entre la velocidad radial instantánea de [matemática] OA_i [/ matemática] y la cantidad [ matemáticas] (OP_i) ^ 2 [/ matemáticas].
En unidades de [matemática] R ^ 2 [/ matemática], el área total del círculo y, por lo tanto, el valor de la coordenada [matemática] x [/ matemática] en la primera intersección de la espiral con la horizontal, viene dada por el número [math] \ pi [/ math]. Pero, según el argumento de Newton, esta no puede ser la raíz de ningún polinomio finito. Por lo tanto, en el lenguaje moderno, [math] \ pi [/ math] debe ser trascendental.
Leibniz y otros que leyeron esto en los Principia no estaban convencidos de que un resultado tan poderoso se pudiera obtener de manera tan simple. Y estaban confundidos porque podían llegar a curvas cerradas cuyas áreas se pueden expresar algebraicamente. Pero esos no son suaves, lo que le permite hacer la ‘espiral’ infinita pegando de forma discontinua curvas algebraicas.
Si está interesado, puede encontrar todos los detalles explicados en este bonito artículo de V. I Arnold: Página en ucsd.edu. También hay una discusión ligeramente extendida sobre esto en: VI Arnold, Huygens y Barrow, Newton y Hooke (Birkhäuser, 1990).
Advertencia (agregado el 25 de abril ’15) : Pesic es el único autor que he encontrado que deduce explícitamente del argumento de Newton no solo que el área entre un óvalo liso y una línea recta es una función trascendental de los parámetros de la línea, sino también que [math] \ pi [/ math] es un número trascendental. Aquí en Quora , el matemático profesional Jack Huizenga se ha opuesto firmemente a la validez de esta segunda deducción. Dado que el argumento tiene sentido para mí, y dado que se ha hecho en una fuente confiable, lo mantengo aquí, después de agregar esta advertencia y la aclaración anterior sobre la elección de unidades para representar áreas como distancias. El lector interesado puede, espero, tomar su propia decisión.
Es fascinante ver aquí una instancia de cómo Newton pensó en asuntos puramente matemáticos en términos de la geometría del movimiento, que debe tener mucho que ver con el por qué tuvo tanto éxito como físico. Tenga en cuenta que era natural para él considerar el área barrida dentro del óvalo por el rayo, ya que la segunda ley de Kepler nos dice que, en el caso de un planeta que gira alrededor del Sol en una órbita elíptica, esto es proporcional al tiempo transcurrido.
Notas pésicas (al comienzo del capítulo 4 en el libro que mencioné al principio), que este resultado probablemente contribuyó a la desconfianza de Newton de las técnicas algebraicas (“analíticas”) y a su apego a las pruebas geométricas (“sintéticas”) en La manera de los antiguos griegos. Para algunos comentarios generales de mi parte sobre esta característica del pensamiento de Newton, vea esta respuesta.
Arnold menciona (en otro contexto) que los matemáticos modernos podrían estar confundidos por el hábito de Newton de pensar que las cantidades matemáticas (incluidos los coeficientes en una serie de Taylor) tienen dimensiones físicas y, por lo tanto, dependen de una elección de unidades. Tenga en cuenta, nuevamente, que la afirmación de que [math] OA_i [/ math] representa el área barrida por el rayo dentro del óvalo solo tiene sentido después de que uno ha elegido unidades. El área del círculo es un número trascendental solo en unidades del radio al cuadrado por un número algebraico.
También es interesante notar que, aunque el resultado de Newton implica que la ecuación de Kepler no se puede resolver algebraicamente, cuando la órbita elíptica tiene una pequeña excentricidad, se puede encontrar la posición de un planeta en función del tiempo utilizando una serie de potencia infinita en la excentricidad, llamada la “ecuación del centro”. Arnold menciona que cuando Cauchy inventó el análisis complejo, lo que realmente estaba tratando de hacer era determinar el dominio de convergencia de esa ecuación. No conozco ningún detalle, pero parece un episodio interesante para un historiador matemático para examinar.