Cómo probar el teorema fundamental del cálculo

Answer 1

El teorema fundamental del cálculo es la columna vertebral del método matemático llamado cálculo y conecta sus dos ideas centrales, la noción de integral y la concepción de la derivada.

Melkana Brakalova-Trevithick, Directora del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Fordham, quien eligió esta ecuación como su favorita, dijo: “En palabras simples, [dice] que la variación neta de un avión y la cantidad continua, por ejemplo, la distancia recorrida, un intervalo de tiempo dado (es decir, el cambio en los valores de la cantidad en los puntos finales del intervalo de tiempo) es equivalente a la integral de la tasa de cambio de esa cantidad, que es la integral de la velocidad. El teorema fundamental del cálculo (FTC) nos permite concluir el cambio neto en un intervalo basado en la tasa de cambio en todo el intervalo “.

La primera declaración publicada y la prueba de una forma rudimentaria del teorema fundamental, de carácter fuertemente geométrico, fue de James Gregory (1638–1675). Isaac Barrow (1630–1677) demostró una versión más generalizada del teorema, mientras que su alumno Isaac Newton (1642–1727) completó el desarrollo de la teoría matemática circundante. Gottfried Leibniz (1646–1716) sistematizó el conocimiento en un cálculo para cantidades infinitesimales e introdujo la notación utilizada hoy.

Consideremos que, una función continua y = f ( x ) cuyo gráfico se representa como una curva, cada valor de x tiene una función de área correspondiente A ( x ), que representa el área debajo de la curva entre 0 y x .

La función A ( x ) puede no ser conocida, pero se da por sentado que representa el área bajo la curva.

El área bajo la curva entre x y x + h podría calcularse al encontrar el área entre 0 y x + h , luego restar el área entre 0 y x . En otras palabras, el área de esta “tira” sería A ( x + h ) – A ( x ).

Hay otra forma de estimar el área de esta misma franja. Como se muestra en la figura adjunta, h se multiplica por f ( x ) para encontrar el área de un rectángulo que es aproximadamente del mismo tamaño que esta tira. Entonces:

Si h → 0, el cálculo será más preciso (el error tiende a cero) por lo tanto

Esto implica f (x) = A ‘(x). Es decir, la derivada de la función de área A (x) existe y es la función original f (x); entonces, la función de área es simplemente una antiderivada de la función original. Calcular la derivada de una función y “encontrar el área” bajo su curva son operaciones “opuestas”. Este es el quid del teorema fundamental del cálculo.

Para más consulta:

https://ocw.mit.edu/courses/math…

https://math.berkeley.edu/~peyam…

http://www2.clarku.edu/~djoyce/m…

Teoremas fundamentales del cálculo

El teorema fundamental del cálculo

Answer 2

Necesita un poco de experiencia en análisis real. Además, hay algunas versiones diferentes del Teorema fundamental del cálculo. Probé el primer teorema fundamental aquí.

Primer teorema fundamental

Suponga que [math] F: [a, b] \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math] es continua y diferenciable en [math] (a, b) [/ math]. Además, deje que [math] F ‘:( a, b) \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math] sea continuo y acotado. Entonces reclamamos

[matemáticas] \ int_ {a} ^ {b} {F ‘(x) dx} = F (b) – F (a) [/ matemáticas].

Prueba del primer teorema fundamental

Dado que la función [math] F ‘:( a, b) \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math] es continua y acotada, se deduce (desde otro teorema) que es integrable en el intervalo cerrado [math] [a, b] [/ matemáticas].

Ahora hay un lema que se desprende del primer teorema fundamental. Afirma para funciones integrables [math] f: [a, b] \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math], y para un número [math] A [/ math] con la propiedad que para cada partición [math] P [/ math] de [math] [a, b] [/ math] ,

[matemáticas] L (f, P) \ leq A \ leq U (f, P) [/ matemáticas].

La implicación es

[matemáticas] \ int_ {a} ^ {b} f = A [/ matemáticas].

Ahora usando este lema, es suficiente verificar que para cada partición [matemática] P [/ matemática] del intervalo [matemática] [a, b] [/ matemática],

[matemática] L (F ‘, P) \ leq F (b) – F (a) \ leq U (F’, P) [/ matemática].

Sea [math] P = \ {x_0, …, x_i \} [/ math] una partición de [math] [a, b] [/ math]. Requerir que el índice sea mayor que uno. Además, la función [math] F: [x_ {i-1}, x_i] \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math] es continua en el intervalo cerrado [math] [x_ {i-1}, x_i] [ / math] y diferenciable en el intervalo abierto [math] (x_ {i-1}, x_i) [/ math]. El teorema del valor medio nos dice que hay un punto [matemático] c_i [/ ​​matemático] en el intervalo abierto [matemático] (x_ {i-1}, x_i) [/ matemático] con

[matemáticas] F (x_i) – F (x_ {i-1}) = F ‘(c_i) (x_i – x_ {i – 1}) [/ matemáticas].

Como el punto es un elemento del intervalo cerrado, se deduce que

[matemáticas] m_i \ equiv inf \ {F ‘(x) | x \ in [x_ {i-1}, x_i] \} \ leq… [/ math]
[matemáticas] F ‘(c_i) \ leq… [/ matemáticas]
[matemáticas] sup \ {F ‘(x) | x \ in [x_ {i-1}, x_i] \} [/ math]

Multiplique la última desigualdad con el tamaño del paso, [matemática] x_i – x_ {i – 1} [/ matemática] y sustituya el Teorema del valor medio para obtener

[matemáticas] m_i (x_i – x_ {i – 1}) \ leq F (x_i) – F (x_ {i – 1}) \ leq… [/ matemáticas]
[matemáticas] M_i (x_i – x_ {i – 1}) [/ matemáticas].

Agregue las desigualdades [matemáticas] n [/ matemáticas] para obtener

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {n} {m_i (x_i – x_ {i – 1})} \ leq… [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {n} {[F (x_i) – F (x_ {i-1})]} \ leq… [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {n} {M_i (x_i – x_ {i – 1})} [/ matemáticas].

Usemos la primera desigualdad ahora. La suma de la izquierda es [matemáticas] L (f, P) [/ matemáticas]; la suma de la derecha es [matemáticas] R (f, P) [/ matemáticas]. Además,

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {n} {[F (x_i) – F (x_ {i-1})]} = F (b) – F (a) [/ matemáticas].

¡Y eso es! Para una función continua [matemática] F: [a, b] \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math] con derivadas acotadas continuas en el intervalo abierto [math] (a, b) [/ math], la integral de la derivada de [matemática] a [/ matemática] a [matemática] b [/ matemática] es equivalente a la diferencia de la función evaluada en cada límite.

Answer 3

Para complementar la respuesta de John Martin, aquí hay una prueba de la otra mitad de la FTC.

Teorema: suponga que [math] f: [a, b] \ to \ mathbb {R} [/ math] es continuo. Defina [matemáticas] F (x) = \ int_a ^ xf (t) \, dt [/ matemáticas]. Entonces [math] F [/ math] es diferenciable y su derivada es igual a [math] f [/ math] en [math] (a, b) [/ math].

Prueba: Sea [math] x \ in (a, b) [/ math]. Si podemos mostrar que [matemáticas] \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {F (x + \ Delta x) – F (x) – \ Delta xf (x)} {\ Delta x} = 0 [ / math], entonces podemos reorganizar esto fácilmente para dar [math] \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {F (x + \ Delta x) – F (x)} {\ Delta x} = f ( x) [/ matemáticas].

Si [matemática] \ Delta x> 0 [/ matemática], entonces

[matemáticas] \ izquierda | \ dfrac {F (x + \ Delta x) – F (x) – \ Delta xf (x)} {\ Delta x} \ right | [/ math]
[matemáticas] = \ izquierda | \ dfrac {\ int_a ^ {x + \ Delta x} f (t) \, dt – \ int_a ^ xf (t) \, dt – \ Delta xf (x)} {\ Delta x} \ right | [/ math]
[matemáticas] = \ izquierda | \ dfrac {\ int_x ^ {x + \ Delta x} f (t) \, dt – \ int_x ^ {x + \ Delta x} f (x) \, dt} {\ Delta x} \ right | [/ math ]
[matemáticas] = \ izquierda | \ dfrac {\ int_x ^ {x + \ Delta x} f (t) – f (x) \, dt} {\ Delta x} \ right | [/ math]
[matemáticas] = \ dfrac {\ left | \ int_x ^ {x + \ Delta x} f (t) – f (x) \, dt \ right |} {\ Delta x} [/ math]

Por el triángulo desigualdad para la integración,

[matemáticas] \ dfrac {\ left | \ int_x ^ {x + \ Delta x} f (t) – f (x) \, dt \ right |} {\ Delta x} [/ math]
[matemáticas] \ leq \ dfrac {\ int_x ^ {x + \ Delta x} | f (t) – f (x) | \, dt} {\ Delta x} [/ math]

Para [math] \ epsilon> 0 [/ math], elija [math] \ delta> 0 [/ math] de modo que siempre que [math] | y – x | \ leq \ delta [/ math], [math] | f (y) – f (x) | \ leq \ epsilon [/ math]. Esto asegurará que, cuando [math] \ Delta x \ leq \ delta [/ math],

[matemáticas] \ izquierda | \ dfrac {F (x + \ Delta x) – F (x) – \ Delta xf (x)} {\ Delta x} \ right | [/ math]
[matemáticas] \ leq \ dfrac {\ int_x ^ {x + \ Delta x} | f (t) – f (x) | \, dt} {\ Delta x} [/ math]
[matemáticas] \ leq \ dfrac {\ int_x ^ {x + \ Delta x} \ epsilon \, dt} {\ Delta x} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ dfrac {\ epsilon \ Delta x} {\ Delta x} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ epsilon [/ matemáticas]

que establece que

[matemáticas] \ lim _ {\ Delta x \ a 0 ^ +} \ left | \ dfrac {F (x + \ Delta x) – F (x) – \ Delta xf (x)} {\ Delta x} \ right | = 0 [/ matemáticas]

y por el teorema de compresión

[matemáticas] \ lim _ {\ Delta x \ a 0 ^ +} \ dfrac {F (x + \ Delta x) – F (x) – \ Delta xf (x)} {\ Delta x} = 0 [/ matemáticas]

Mediante un argumento muy similar, podemos mostrar que esto también es válido para [math] \ Delta x [/ math] que se aproxima a cero desde abajo. Por lo tanto

[matemática] \ lim _ {\ Delta x \ a 0} \ dfrac {F (x + \ Delta x) – F (x) – \ Delta xf (x)} {\ Delta x} = 0 [/ matemática]

y ya hemos terminado.

Answer 4

Diría que no es la PRUEBA del Teorema fundamental del cálculo lo que la gente quiere, es una EXPLICACIÓN usando términos simples.

Prefiero esta explicación. Mira lo que piensas.