Una raíz de la ecuación [matemáticas] x ^ 4 – 5 x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas] es [matemáticas] 3 + \ sqrt {2} [/ matemáticas] si a, byc son racionales . Encuentre el valor máximo de a y c y el menor de b?

Answer 1

Este problema solo tiene sentido si dice además que la ecuación solo tiene soluciones reales.

Entonces, como [math] a, b, c [/ math] son ​​racionales [math] 3 – \ sqrt {2} [/ math] también es una solución. Significa que el polinomio [matemáticas] (x -3 – \ sqrt {2}) (x -3 + \ sqrt {2}) = x ^ 2-6x + 7 [/ matemáticas] divide [matemáticas] x ^ 4- 5x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas].

El resto de la división es [matemática] (6a + b-13) x + (c-7a + 7) [/ matemática] y el cociente es [matemática] x ^ 2 + x + a-1 [/ matemática].

Si necesita que todas las raíces del polinomio sean reales, entonces el discriminante de [matemáticas] x ^ 2 + x + a-1 [/ matemáticas] que es [matemáticas] D = 5-4a \ geq 0 [/ matemáticas].

Por lo tanto, [math] a \ leq \ frac {5} {4} [/ math]. El recordatorio debe ser cero, entonces

[matemáticas] b = 13 -6a \ geq 13 – 6 \ frac {5} {4} = \ frac {11} {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] c = 7a-7 \ leq 7 \ frac {5 } {4} -7 = \ frac {7} {4} [/ matemáticas].

Si no requiere que todas las soluciones sean reales, este problema no tiene solución.

Answer 2

Max. valor de a = 5/4
Max. valor de c = 7/4
Valor mínimo de b = 11/2

Dado que todos los coeficientes de la ecuación son reales, tendrá las raíces irracionales o irreales que se presentan en pares. Ya que debemos encontrar el max./min. posibles valores de los coeficientes, procedemos de la siguiente manera:

Como una raíz = 3 + sqrt2, otra raíz = 3-sqrt2
Deje que las otras raíces sean p & q.
Suma de todas las raíces tomadas de una en una = 5 = 6 + p + q. Por lo tanto, p + q = -1
Suma de raíces tomadas de cuatro en cuatro = 7pq = c => pq = c / 7
Ahora, (pq) ^ 2 = 1-4c / 7> = 0, por lo tanto, c <= 7/4 => cmax = 7/4
Suma de raíces tomadas de dos en dos = a = pq + 1 = c / 7 + 1
=> a <= cmax / 7 + 1 = 5/4 => a max = 5/4
Ahora, suma de raíces tomadas tres a la vez = -b = 7 (p + q) + 6pq = -7 + 6c / 7
=> b> = 7-6cmax / 7 = 11/2
Por lo tanto bmin = 11/2

Answer 3

Gram y otras personas aquí han dado lo correcto hasta ahora. Solo quiero agregar un poco más de información al problema. El problema de la competencia matemática está estrechamente relacionado con una herramienta de ingeniería muy útil llamada diagrama del lugar raíz (página wiki). Se usa ampliamente para determinar si un sistema es estable en la teoría de control. Yo uso Mathematica para crear la trama:

el signo “x” / cruz en la gráfica denota las raíces del polinomio con [matemáticas] c = 0. [/ matemáticas] A medida que c aumenta, seguirá cuatro caminos. Dos en el lado izquierdo del eje y, o el eje imaginario, y dos en el lado derecho (significa que siempre tienes dos raíces reales que son [matemáticas] 3+ \ sqrt {2}, 3- \ sqrt {2} [ /matemáticas]). Antes de que c alcance 7/4, las raíces en el lado izquierdo se mueven a lo largo del lado negativo y una hacia la otra. Una vez que c crece 7/4, las dos raíces se dividen y se mueven verticalmente hacia arriba y hacia abajo, respectivamente. Los dos puntos negros en el lado izquierdo del eje y son las nuevas ubicaciones de las raíces complejas para [matemáticas] c = 2.5 [/ matemáticas]. Utilice el solucionador numérico de Mathematica, podemos ver la transición de la distribución raíz de este polinomio:

Ahora puede ver por qué es importante para Gram Zeppi señalar la condición de raíz real.

Answer 4

Entonces sabemos que (3 + √2) ^ 4 – 5 (3 + √2) ^ 3 + a (3 + √2) ^ 2 + b (3 + √2) + c = 0
∴ (3 ^ 4 + 4 (3 ^ 3) √2 + 6. (3 ^ 2). (√2) ^ 2 + 4.3. (√2) ^ 3 + (√2) ^ 4)
-5 (3 ^ 3 + 3 (3 ^ 2) √2 + 3.3. (√2) ^ 2 + (√2) ^ 3
+ a (3 ^ 2 + 2.3.√2 + (√2) ^ 2)
+ b (3 + √2) + c = 0
∴ (81 + 36√2 + 108 + 24√2 + 4) -5 (27 + 27√2 + 18 + 2√2)
+ a (9 + 6√2 + 2) + b (3 + √2) + c = 0
∴ (193 + 60√2) -5 (45 + 29√2) + a (11 + 6√2) + b (3 + √2) + c = 0
∴ (193 – 225 + 11 a + 3 b + c ) + (60 – 145 + 6 a + b ) √2 = 0
∴ (11 a + 3 b + c – 32) + (6 a + b – 85) √2 = 0
Pero, a , byc son todos racionales; entonces lo anterior solo es posible si 6 a + b = 85, por lo tanto b = 85 – 6 a
∴ 11 a + 3 (85-6 a ) + c – 32 = 0
∴ 7 a + c + 223 = 0
∴ c = 223 – 7 a
Queremos el número racional con signo más grande ayc , y el número racional más pequeño (más negativo) b , que juntos verifican
b = 85 – 6 a
c = 223 – 7 a
byc disminuyen cuando a aumenta; así que supongamos que queremos que ayc sean iguales (de lo contrario, uno de ellos será menor que ese valor “igual”). Esto significa
8 a = 223
∴ a = 27⅞ = c
∴ b = 85 – 6 (27⅞) = 85 – 167¼ = -82¼

PD: Noto que las otras dos respuestas, que concuerdan entre sí, son muy diferentes de esta; pero no asumí nada acerca de que las otras tres raíces fueran reales o imaginarias. Tal vez ahí es donde diverjo de los otros dos. O tal vez cometí uno o más errores de cálculo mental.