¿Cuáles son las únicas soluciones enteras para las cuales [matemáticas] x (x (x-6) ^ 2-24) [/ matemáticas] es un cuadrado perfecto? ¿Cómo podemos probar esto?

Answer 1

Aquí hay una solución fea, pero aún funciona.

Sea [math] f (a) = a (a (a-6) ^ 2-24) [/ math] [math] = a ^ 4-12a ^ 3 + 36a ^ 2-24a [/ math].

Caso 1: [matemáticas] a \ ge 19 [/ matemáticas]:

[matemática] f (a) – (a ^ 2-6a-1) ^ 2 [/ matemática] [matemática] = 2a ^ 2-36a-1 [/ matemática] [matemática] = 2a (a-18) -1 > 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (a) – (a ^ 2-6a) ^ 2 [/ matemáticas] [matemáticas] = -24a <0 [/ matemáticas]

Dado que [math] (a ^ 2-6a-1) ^ 2 <f (a) <(a ^ 2-6a) ^ 2 [/ math], [math] f (a) [/ math] se encuentra estrictamente entre Dos cuadrados perfectos consecutivos. Por lo tanto, [matemáticas] f (a) [/ matemáticas] no puede ser un cuadrado perfecto.

Caso 2: [matemáticas] a \ le -6 [/ matemáticas]:

[matemáticas] f (a) – (a ^ 2-6a) ^ 2 [/ matemáticas] [matemáticas] = -24a> 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (a) – (a ^ 2-6a + 1) ^ 2 [/ matemáticas] [matemáticas] = -2a ^ 2-12a-1 [/ matemáticas] [matemáticas] = -2a (a + 6) -1 <0 [/ matemáticas]

Dado que [math] (a ^ 2-6a) ^ 2 <f (a) <(a ^ 2-6a + 1) ^ 2 [/ math], [math] f (a) [/ math] se encuentra estrictamente entre Dos cuadrados perfectos consecutivos. Por lo tanto, [matemáticas] f (a) [/ matemáticas] no puede ser un cuadrado perfecto.

Caso 3: [matemáticas] -5 \ le a \ le 18 [/ matemáticas]

Como solo hay valores enteros [matemáticos] 24 [/ matemáticos] de [matemática] a [/ matemática] en [matemática] [- 5,18] [/ matemática], simplemente podemos verificarlos todos. Solo [matemática] a = 0, 1, 2, 3, 8 [/ matemática] hacen que [matemática] f (a) [/ matemática] sea un cuadrado perfecto.

Estos casos son mutuamente exclusivos y exhaustivos. Por lo tanto, los únicos valores enteros de [matemática] a [/ matemática] tal que [matemática] a (a (a-6) ^ 2-24) [/ matemática] es un cuadrado perfecto son [matemática] a = 0, 1 , 2, 3, 8 [/ matemáticas].

Answer 2

Diga [matemáticas] x = k ^ 2 [/ matemáticas]. Entonces, para que la expresión sea un cuadrado perfecto, [matemáticas] k ^ 2 (k ^ 2-6) ^ 2-24 = a ^ 2 [/ matemáticas] para algún número entero a. Reorganice y use la diferencia de cuadrados: [matemática] 24 = (k (k ^ 2-6) -a) (k (k ^ 2-6) + a) [/ matemática]. El lado derecho representa dos factores de 24 que difieren en una cantidad par (2a). Las posibilidades son 2 y 12, 4 y 6 y sus negativos. Para los casos respectivos, [matemáticas] k (k ^ 2-6) = \ pm 7, \ pm5 [/ matemáticas]. En cada caso, podemos usar la definición de primo para decir [math] k [/ math] o [math] k ^ 2-6 [/ math] es [math] \ pm 1 [/ math]. El único caso válido es [matemática] k = 1 [/ matemática], o x = 1. También está el trivial x = 0.

Si x no es un cuadrado perfecto, [matemáticas] x = b ^ 2c [/ matemáticas] yc no tiene factores cuadrados perfectos. [matemáticas] x (x-6) ^ 2-24 [/ matemáticas] debe ser divisible por c. Sin embargo, c divide x, entonces esto implica que c es un factor de 24. Esto deja a c = [matemáticas] \ pm 2, \ pm 3, \ pm 6 [/ matemáticas].

Después de la sustitución directa de [matemáticas] x = \ pm 2b ^ 2, \ pm 3b ^ 2, \ pm 6b ^ 2 [/ matemáticas] y la simplificación mediante la eliminación de cuadrados perfectos, las soluciones siguen con diferencia de cuadrados, como antes. Los casos negativos no dan soluciones; Respecto a los casos positivos, las soluciones son b = 1,2; b = 1; y sin soluciones Estos corresponden a x = 2, 8, 3.
Entonces, en todos los casos considerados, x solo puede ser igual a 0,1,2,3 u 8.

Answer 3

Santhosh Karnik ya ha dado una solución. Me gustaría señalar que la técnica particular es bastante conocida en los círculos olímpicos. Puede consultar la Sección 1.2 de este libro (Introducción a las ecuaciones de diofantina: un enfoque basado en problemas: Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu) para obtener más ejemplos.

Answer 4

Aquí hay otra forma, aunque no muy elegante, de hacerlo.

Deje [math] a (a (a-6) ^ {2} -24) = a ^ 2 [/ math], es decir que el enunciado es equivalente a la misma variable al cuadrado, o equivalentemente que el enunciado en el left es igual al cuadrado de una de las soluciones enteras. Esto produce cuatro soluciones [matemáticas] a = 0, 1, 3, 8 [/ matemáticas].

Sin embargo, esto supone que el lado derecho debe ser un cuadrado de la variable a la derecha. Este no es el caso, ya que puede ser igual a cualquier variable al cuadrado (es decir, un cuadrado perfecto de raíz principal arbitraria). De esto podemos llegar a una declaración similar para una variable distinta, a saber [matemáticas] \; a (a (a-6) ^ {2} -24) = b ^ 2 [/ math], que produce [math] a = 1, 2, 3 [/ math].

De la combinación de estos dos casos, el primero de los cuales asume que la expresión es igual a una de las soluciones enteras al cuadrado, y el otro considera el escenario alternativo en el que la expresión es igual a algún otro número al cuadrado que puede o no ser equivalente a la (s) solución (es) entera (s), llegamos a la solución que [math] a = 0, 1, 2, 3, 8 [/ math].