Para dar una idea más intuitiva, tomar el cociente de cualquier cosa es básicamente una especie de poner algunos elementos de un conjunto que están relacionados entre sí, de modo que algunas propiedades del conjunto original aún se conservan. Esto me da un nuevo conjunto más pequeño que es más fácil de estudiar y cuyos resultados se pueden extender al conjunto original.
Al igual que para un cociente en un grupo G, tome cualquier subgrupo H y defina la relación en G de la siguiente manera:
a ~ b iff ab [matemáticas] \ en [/ matemáticas] H
Entonces, cada clase de equivalencia anterior me da un elemento del conjunto de cocientes. Cualquier subgrupo puede hacer esto, pero el conjunto de cocientes forma un grupo cuando H es un subgrupo normal. En tal caso hay un homomorfismo natural de G a G / H como
[matemáticas] \ phi [/ matemáticas]: G [matemáticas] \ flecha derecha [/ matemáticas] G / H
[matemáticas] \ phi [/ matemáticas] (g) = g + H
y el problema de estudiar un grupo básicamente se reduce a estudiar el grupo del cociente.
Además, existe una correspondencia biunívoca entre los subgrupos del grupo de cocientes G / H y los subgrupos de G que contienen H, por lo que una vez que tenemos un grupo de cocientes, para cualquier subgrupo de G podemos encontrar su subgrupo correspondiente en el cociente grupo (si el subgrupo está contenido en H, su cociente será el elemento cero del grupo cociente).
El número de dichos grupos de cocientes es igual al número de subgrupos normales de un grupo.
- Teoría de números: Sea mcd (a, b) = d. Entonces a = dx, b = dy Probar mcd (x + y, xy) = 1?
- ¿Cómo puedo poner juegos (Tetris, Snake, Maze, etc.) en mi calculadora Casio Algebra FX 2.0 Plus?
- ¿Cómo representan los grupos las transformaciones geométricas?
- Una raíz de la ecuación [matemáticas] x ^ 4 – 5 x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas] es [matemáticas] 3 + \ sqrt {2} [/ matemáticas] si a, byc son racionales . Encuentre el valor máximo de a y c y el menor de b?
- ¿Cómo demuestro que cuando [math] f (x) [/ math] se divide por [math] {x} ^ {3} -x [/ math], el resto tiene la forma [math] 3r (x) [/ math], donde [math] r (x) [/ math] es un polinomio con coeficientes enteros y se da que [math] f (x) [/ math] es un polinomio con coeficientes enteros y [math] f (n) [/ math] es divisible por [math] 3 [/ math] para todos los enteros [math] n [/ math]?
Entonces, en general, como una idea aproximada, estamos tomando un subgrupo normal y llamándolo ‘cero’, luego, como lo hacemos en números (si ab = 0, entonces a = b), estamos uniendo los elementos idénticos con respecto a este nuevo cero y llamándolo un elemento único. Hacer esto para todo el grupo da un grupo de cocientes.