Teoría de números: Sea mcd (a, b) = d. Entonces a = dx, b = dy Probar mcd (x + y, xy) = 1?

Answer 1

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Me había olvidado del algoritmo euclidiano que algunas otras respuestas sobre la teoría de números me recordaron. Agregar otra respuesta basada en eso
respuesta 1
De la pregunta, podemos inferir directamente. Dado que [math] x [/ math] y [math] y [/ math] son ​​los productos de factores que quedan poco comunes entre a y b.
[matemática] mcd (x, y) = 1 [/ matemática]

[matemática] mcd (x + y, x) = mcd (x, ((x + y) mod x)) = mcd (x, (y mod x)) = mcd (x, y) = 1 [/ matemática]
[matemática] mcd (x + y, y) = mcd (y, ((x + y) mod y) = mcd (y, (y mod x)) = mcd (y, x) = 1 [/ matemática]

[matemática] mcd (x + y, xy) = 1 [/ matemática] ya que [matemática] mcd (x + y, x) = 1 [/ matemática] y
[matemática] mcd (x + y, y) = 1 [/ matemática]

Respuesta 2
El alcance de la respuesta a continuación está restringido a enteros.
De la pregunta, podemos inferir directamente. Dado que [math] x [/ math] y [math] y [/ math] son ​​los productos de factores que quedan poco comunes entre a y b.
[matemática] mcd (x, y) = 1 [/ matemática]

Dejar
[matemáticas] x = \ Pi P_ {i} ^ {e_ {i}} [/ matemáticas]
Dejar
[matemáticas] y = \ Pi P_ {k} ^ {e_ {k}} [/ matemáticas],
donde [matemáticas] P_ {i} [/ matemáticas] y [matemáticas] P_ {k}

[/ math] son ​​los factores primos de [math] x [/ math] y [math] y [/ math] respectivamente
Como [math] mcd (x, y) = 1 [/ math], [math] P_ {i} \ neq P_ {k} [/ math] para cualquier [math] i, k [/ math].

Entonces [matemáticas] xy = (\ Pi P_ {i} ^ {e_ {i}}) (\ Pi P_ {k} ^ {e_ {k}}) [/ matemáticas]
Como [math] P_ {i} \ neq P_ {k} [/ math],
Para cualquier [matemática] i [/ matemática], [matemática] x + y \ equiv y (mod P_ {i}) [/ matemática],
[matemáticas] y \ nequiv 0 (mod P_ {i}) [/ matemáticas]
Para cualquier [matemática] k [/ matemática], [matemática] x + y \ equiv x (mod P_ {k}) [/ matemática],
[matemáticas] x \ nequiv 0 (mod P_ {k}) [/ matemáticas]
Entonces, ningún factor primo de [matemáticas] xy [/ matemáticas] es un factor de [matemáticas] x + y [/ matemáticas].
Por lo tanto, [math] mcd (x + y, xy) = 1 [/ math]

Answer 2

Cualquier divisor primo [matemático] p [/ matemático] de ambos [matemático] x [/ matemático] y [matemático] y [/ matemático] significaría que [matemático] dp [/ matemático] divide ambos [matemático] a [/ matemático ] y [matemáticas] b [/ matemáticas]. Esto contradiría [math] \ gcd (a, b) = d [/ math]. Por lo tanto, ningún primo divide tanto [math] x [/ math] como [math] y [/ math], de modo que [math] \ gcd (x, y) = 1 [/ math].

Suponga que [math] p [/ math] es un divisor primo de [math] xy [/ math]. Entonces [math] p [/ math] divide [math] x [/ math] o [math] y [/ math], pero no ambos. Por lo tanto, [math] p [/ math] no divide [math] x + y [/ math]. Por lo tanto, ningún divisor primo de [matemáticas] xy [/ matemáticas] puede dividir [matemáticas] x + y [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] \ gcd (x + y, xy) = 1 [/ math].