¿Por qué la suma de todos los números reales no es igual a cero? Educación te da un futuro mejor

Eso depende en gran medida de lo que quieres decir con suma. Dado que el conjunto de números reales es infinito, no es una propuesta trivial decidir a qué nos referimos cuando decimos que queremos “sumarlos todos”. Hay miles de advertencias a tener en cuenta, entre ellas el hecho de que el orden de suma puede cambiar la suma de una serie infinita, algo que no es un problema en sumas finitas.
Es decir, cuando es posible ordenar el conjunto de sumandos. Resulta que el conjunto de números reales (y de hecho cualquier intervalo no único de números reales) no es enumerable. Lo que queremos decir con eso es que no podemos asignar un número de recuento único a cada número real de la forma en que contaría las naranjas en una tienda de frutas y esperar cubrir cada número real. Este es un segundo problema para descifrar lo que queremos decir cuando decimos que queremos “sumar todos los números reales”.
Veamos el primer problema. Considera la serie
[matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (-1) ^ n = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + \ dotsb [/ matemáticas]
¿Considerarías que la suma de esta serie es 0? Es decir, ¿agrupaste pares de términos de la forma (1 – 1) = 0? Veamos los términos de agrupación. Si puede agrupar los términos de esa manera y afirmar que simplemente tenemos una suma de ceros, la siguiente agrupación es igualmente válida.
1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) +…
¡Entonces puedo afirmar que la suma debe ser 1, ya que el resto de los términos se emparejan para ser 0! De hecho, podemos afirmar que la suma es cualquier número si aplicamos ingenuamente las propiedades asociativas y conmutativas de la suma que aprendimos en la escuela primaria.
Sin embargo, si esperamos que las series tengan sumas consistentes, no podemos permitir que estas manipulaciones creen múltiples sumas a partir de una sola serie. Una serie debe razonablemente tener una sola suma o ninguna suma. Hemos decidido en la definición convencional de serie de Cauchy declarar que las series que se comportan así no tienen ninguna suma, y además que las propiedades de asociatividad y conmutatividad no deben aplicarse ciegamente a las series de suma: solo debemos sumar series cuando las sumas realmente se acercan a un número particular.
Por sumas parciales, solo queremos decir ver qué número, si es que hay alguno, se aproximan a las sumas finitas de nuestra serie a medida que agregamos cada término adicional y, por lo tanto, el orden importa. Las sumas parciales para la serie anterior son
1;
1 – 1 = 0;
1 – 1 + 1 = 1;
1 – 1 + 1 – 1 = 0;
1 – 1 + 1 – 1 + 1 = 1.
No es difícil ver que las sumas parciales oscilan continuamente entre los valores 1 y 0 y, por lo tanto, nunca se acercarán a un número único.
Entonces tenemos un problema real cuando se trata de encontrar la suma de todos los números reales si no podemos ver las sumas parciales. (Debido a que no son enumerables, no hay una manera consistente de decir “esta es la primera suma parcial, la segunda suma parcial, y así sucesivamente”).
De hecho, hay un método que podemos usar para “sumar” un rango continuo de valores, pero es solo una forma particular de generalizar el concepto de una suma y, por lo tanto, no debe tomarse como definitivo.
Primero, debemos pensar en lo que queremos decir cuando sumamos una cantidad infinita de números con valores mayores que 1, que es parte de nuestro problema de “sumar todos los números reales”. De la serie anterior, vemos que no se trata simplemente de emparejar términos con sus inversos aditivos, ya que hemos demostrado que el emparejamiento arbitrario puede resultar en que cualquier número sea la suma. No hay ninguna razón particular para seleccionar un conjunto particular de pares. Dado que agregar 1 a sí mismo una cantidad infinita de veces ciertamente no debería darnos ninguna cantidad finita, tenemos el problema aparentemente insuperable de una suma infinita incluso antes de comenzar. Lo que esto significa para nosotros es que debemos cambiar el significado de la suma una vez más si queremos que la “suma de todos los números reales” tenga un significado consistente. ¿Pero qué debería significar?
En una suma discreta, podemos considerar que cada término es la salida de una función, donde la entrada es un número natural. Es decir, el enésimo término de la serie es f (n) para alguna función n. Por lo tanto, es una extensión natural considerar la suma de los valores de salida de una función donde el dominio no está limitado a números naturales, sino que puede ser números reales. En particular, desea resumir los términos de la forma f (x) = x para todas las x.
Echemos un vistazo a esta “suma” en un pequeño intervalo finito de números reales primero, para ver si lo que estamos pidiendo se puede poner en una especie de equilibrio constante. Esto es similar a mirar solo unos pocos términos de una suma discreta, excepto que aquí todavía tenemos que sumar una cantidad infinita de términos, ya que hay una cantidad infinita de números reales entre dos números reales. Por ejemplo, resumamos f (x) = x sobre el conjunto de números en el intervalo real cerrado entre 0 y 1, al que llamaremos [0, 1]. ¡El primer número es 0, que es genial hasta ahora! Pero, ¿cuál es el segundo término en la suma? ¿Cuál es el siguiente número real más pequeño después de 0?
Al igual que el conjunto de números racionales, desafortunadamente siempre hay un número real entre dos números reales, lo que significa que no puede haber ningún “segundo número real” (¡habría un número real entre ese y 0!). Entonces, ¿qué podemos hacer?
¡Bueno, este es un problema que ya hemos resuelto en el caso discreto! No pudimos sumar una cantidad infinita de números, así que observamos qué número, si alguno, se acercó a la secuencia de sumas parciales. Bueno, configuremos “sumas parciales” de números reales. Seleccionaremos una cantidad finita de números reales {x_1, x_2, …, x_n} del intervalo [0,1] y sumaremos los valores f (x_i). Si la suma se aproxima a una cantidad finita a medida que aumenta el número de términos, afirmaremos que esa es la suma. Eso suena razonable. Pero también falla: la secuencia aumenta más allá de cualquier cantidad finita a medida que agregamos más términos.
Por lo tanto, no podemos simplemente emular sumas discretas de esta manera ingenua. Si planeamos dar un significado consistente a la suma de un conjunto continuo de números reales, tendremos que cambiar nuestra idea de lo que significa sumar y, al igual que nos aseguramos de que las series, estrictamente hablando, no se llamen sumas, debemos dale un nombre diferente. Todavía le damos un símbolo para conectarlo con la idea de suma: utilizamos una S alargada y la llamamos integral. Sin embargo, hay muchas ideas de lo que debe hacer una integral. La forma más común de integral se llama integral de Riemann.
La integral de Riemann generaliza el concepto de suma al asignar un tipo de longitud llamada “medida” a cada elemento de un conjunto. De esta manera, podemos “sumar” sobre conjuntos que ni siquiera son enumerables siguiendo el formalismo de la integral, que se basa en una propiedad fundamental del conjunto de números reales: todos los subconjuntos de números reales que tienen un límite superior también tienen un menos límite superior. Lo que esto significa para nosotros es que si estamos sumando un montón de números reales positivos, y de alguna manera podemos demostrar que hay un número real que nuestra suma nunca excederá, entonces sabemos que hay un número menos real que nuestra suma nunca exceder. Podemos referirnos razonablemente a este número real como la “suma” de nuestro conjunto, incluso si nuestro conjunto es infinito o no enumerable.
Entonces puede preguntarse “¿Cómo sumamos conjuntos que no son enumerables?” Decidimos generalizar el concepto de longitud. Por ejemplo, cuando estábamos sumando 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …, podríamos imaginar que estábamos sumando y restando longitudes de unidades.
En particular, un conjunto que se ajusta dentro de otro conjunto correctamente (para que no sean iguales) debe tener una longitud menor que el conjunto que lo contiene. También nos gustaría que se mantenga la desigualdad triangular: si tenemos dos conjuntos, la unión de los dos conjuntos seguramente no debería ser más larga que la suma de las longitudes individuales de los dos conjuntos. ¡Imagínese que eso sucede con dos longitudes de madera contrachapada! Sin embargo, si los dos conjuntos comparten puntos, la unión podría tener una longitud más corta. Entonces, esto es generalmente una desigualdad, no una igualdad.
En sumas discretas, cada término f (n) tiene el mismo “peso”, ya que en cada término contribuye a la suma por la misma cantidad. Como vimos anteriormente, no podemos hacer esto para ningún intervalo de números reales y esperar obtener una suma finita. Entonces, si esperamos querer decir algo finito por “sumar todos los números reales en este intervalo”, debemos ajustar el peso de cada número. Aquí es donde entra en juego la “longitud” que mencionamos anteriormente, llamada medida.
Sumar 1 + 2 + 3 +… es similar a sumar 1 × 1 + 2 × 1 + 3 × 1 +… donde le damos a cada número una medida de 1 unidad: el mismo peso. Podemos pensar en los pesos como rectángulos sobre la línea real de ancho 1 y altura 1, 2, 3, etc. Los términos negativos tendrán “alturas” negativas para que se resten adecuadamente de las áreas positivas.

Pero espere, si intentamos sumar 1/2, 1/3 y todos estos otros números reales que no son enteros, y también les daremos pesos de 1, las áreas rectangulares se superponen. Ya no está claro que esta suma signifique algo útil (o más bien, desobedece las reglas de lo que creemos que la medida de una cantidad debería significar que establecimos anteriormente).

Entonces deberíamos dividir los números para que no haya superposición. ¿Qué tan anchos deberían ser nuestros rectángulos?
Bueno, no queremos superposición, pero no está claro cómo dividir cada número real para tener la medida adecuada. Entonces, hagamos algo más: al igual que consideramos sumas parciales cuando queríamos agregar términos discretos, consideremos particiones individuales de la línea real que no se superponen, y veamos si el conjunto de todas las particiones posibles, una vez que sumamos cada una , tiene un valor que todas las sumas se acercan a medida que hacemos nuestras particiones más pequeñas. Aquí hay una partición particular que incluye 1/2:

La partición anterior es una forma particular de sumar números reales de la forma f (x) = x en el intervalo [-4, 4]. Consideraríamos que la integral [matemática] \ int _ {- 4} ^ 4 x \, dx [/ matemática] existe, similar a la suma de una serie, si la suma de f (x) = x sobre todas las particiones posibles de [- 4, 4] se acercó a un valor finito a medida que aumentaba el número de particiones. Tenga en cuenta aquí que el conjunto de todas las particiones posibles no necesita ser enumerable: finalmente nos hemos liberado de la necesidad de indexar cosas.
Pero esa libertad tiene un precio: ahora debemos confiar exclusivamente en el hecho de que cada conjunto de números reales con un límite superior debe tener un límite superior mínimo, y de manera similar para los límites inferiores, para hablar sobre el conjunto de todas las particiones acercándose a cualquier valor, ya que no podemos usar un índice.
Hemos encontrado una forma de evitar esto eligiendo tipos particulares de particiones que son enumerables, y utilizando teoremas que relacionan particiones entre sí para cubrir el resto de las particiones. En particular, usamos el límite de una suma de Riemann, cuyos términos son las mismas “áreas” rectangulares no superpuestas utilizadas anteriormente, pero divididas de una manera más regular: simplemente dividimos el intervalo [-4, 4] en n rectángulos de igual ancho y asigne un número particular de cada subintervalo para que sea la altura. Dado que n es un número natural, tomamos el límite a medida que n se acerca al infinito, lo que resulta que nos da la misma integral, por algunos teoremas inteligentes que manejan sumas sobre las otras particiones irregulares que se exprimen entre sumas para valores particulares de n. También resulta que no importa qué valor de f (x) usemos dentro de cada subintervalo.
En particular, el ancho de cada rectángulo debe ser (8 / n) unidades si todos tienen el mismo ancho, y podemos elegir [matemática] f (x_i) = -4 + \ frac {8i} {n} [/ matemática] para la “altura” del i-ésimo rectángulo, que es solo el valor de f en el extremo derecho de cada subintervalo. Esto es solo una suma aritmética, que tiene un valor finito [matemáticas] 32 (-1 + \ frac {n + 1} {n}) [/ matemáticas]. Cuando n se aproxima al infinito, entonces, este valor se acerca a 0. Este es un valor finito, y es razonable, ya que tenemos la misma “cantidad” de números reales negativos que números reales positivos en este intervalo finito.
Entonces, ¿qué sucede cuando intentamos esto en un intervalo infinito?
Aquí nos encontramos con otro problema: ¿cómo comenzamos a sumar nuestros términos si el intervalo es infinito en ambos extremos? ¿Cuál es “la primera partición” si la línea real no tiene el número más pequeño ni el número más grande? Por lo tanto, puede ser mejor si usamos intervalos finitos, donde tenemos un término inicial y un término final, y luego encontramos el límite a medida que cada final del intervalo se aproxima a su respectivo infinito. Pero espera, ¡ya hicimos eso arriba y descubrimos que nuestra respuesta es 0!
Sin embargo, eso es simplemente un artefacto del tipo de intervalo que usamos. Si hubiéramos comenzado con el intervalo [-3, 4], que tiene la integral de 7/2, tendríamos un caso igualmente justificable para que el valor de la integral infinita sea 7/2. Entonces vemos una similitud entre integrales infinitas (en realidad llamadas impropias) y series infinitas. En particular, también queremos separarnos de las integrales que se comportan así, por lo que decimos que no convergen, al igual que las series infinitas que se comportan mal.
Pero este es solo un punto de vista.
Como señaló otra respuesta, el valor principal de Cauchy del símbolo formal asociado que utilizamos para sumar de esta manera, llamado integral (incorrecto debido a que el intervalo de integración no se cierra) es igual a 0. Este método particular de sumar todos los los números reales es similar al método que usamos en la suma finita, donde emparejamos (1 – 1) + (1 – 1) + … para obtener una suma de ceros. Sin embargo, este método no satisface varias otras propiedades “agradables” que satisfacen otras formas de calcular el valor, por lo que tampoco decimos que este sea el valor “definitivo”.
En resumen, hay muchas formas de calcular “la suma de todos los números reales”, y obtendrá diferentes valores con cada uno. Todo depende de la intención: qué quieres decir exactamente con tu suma.