¿Cómo se puede usar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para demostrar que [math] \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ sqrt {\ binom nk} \ leq \ sqrt {n (2 ^ n-1)} [/ math ] para [matemáticas] n \ geq2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 1 \ leq k \ leq n [/ matemáticas]?

Answer 1

Desigualdad de Cauchy-Schwarz, expresada en forma de raíz cuadrada:
[matemáticas]
\ left (\ sum_ {i = 1} ^ {n} a_ib_i \ right) \ le \ left (\ sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ {n} a_i ^ 2} \ right)
\ left (\ sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ {n} b_i ^ 2} \ right)
[/matemáticas]

El [math] \ dbinom {n} {k} [/ math] y [math] 2 ^ n [/ math] son ​​reveladores; sabemos [matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ dbinom {n} {k} = 2 ^ n [/ matemáticas] y [matemáticas] \ dbinom {n} {0} \ equiv 1 [/ matemáticas ], por lo tanto: [matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ dbinom {n} {k} = (2 ^ n – 1) [/ matemáticas]

o en forma de raíz cuadrada: [matemáticas] \ sqrt {\ left (\ sum_ {k = 1} ^ {n} \ dbinom {n} {k} \ right)} = \ sqrt {2 ^ n – 1} [ /matemáticas]

Escoger [matemáticas] a_i = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] b_i = \ sqrt {\ dbinom {n} {i}} [/ matemáticas] para [matemáticas] 1 \ leq k \ leq n [/ matemáticas] y aplicar Cauchy-Schwarz:
nuestro LHS es
[matemáticas] \ left (\ sum_ {i = 1} ^ {n} \ sqrt {\ dbinom {n} {i}} \ right) [/ math]

y en el RHS:
[matemáticas] \ left (\ sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ {n} a_i ^ 2} \ right) = \ sqrt {n} [/ math]

[matemáticas] \ left (\ sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ {n} b_i ^ 2} \ right) = \ sqrt {\ left (\ sum_ {k = 1} ^ {n} \ dbinom {n} {k} \ right)} = \ sqrt {2 ^ n – 1} [/ math]

Pon todos esos juntos y QED

Answer 2

Muy simple:

Por propiedad [math] \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ binom {n} {k} = 2 ^ n-1, [/ math]

[matemáticas] n (2 ^ n-1) = (1 + 1 + \ cdots + 1) (\ binom {n} {1} + \ binom {n} {2} + \ cdots \ binom {n} {n }) \ geq (\ sqrt {\ binom {n} {1}} + \ sqrt {\ binom {n} {2}} + \ cdots + \ sqrt {\ binom {n} {n}}) ^ 2 [ /matemáticas]

¡Hecho! 🙂