[matemáticas] \ sqrt [3] {x + \ sqrt {x ^ 2 + 1}} + \ sqrt [3] {x- \ sqrt {x ^ 2 + 1}} = 2 [/ matemáticas]. | x | [matemáticas] \ geqslant [/ matemáticas] 1. ¿Cómo puedo calcular esta ecuación?

Answer 1

[matemáticas] \ sqrt [3] {x + \ sqrt {x ^ 2 + 1}} + \ sqrt [3] {x- \ sqrt {x ^ 2 + 1}} = 2 [/ matemáticas]

Dejemos que [math] y = \ sqrt {x ^ 2 + 1} [/ math] entonces [math] y ^ 2 = x ^ 2 + 1 [/ math] y reescribamos esto como

[matemáticas] (x + y) ^ \ frac {1} {3} + (xy) ^ \ frac {1} {3} = 2 [/ matemáticas]

Cubramos ambos lados usando [math] (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) [/ math]. Tenemos [matemáticas] a = (x + y) ^ \ frac {1} {3} [/ matemáticas] y [matemáticas] b = (xy) ^ \ frac {1} {3} [/ matemáticas], y nosotros saber [matemáticas] a + b = 2 [/ matemáticas], entonces obtenemos

[matemáticas] x + y + xy + 3 \ cdot 2 (x + y) ^ \ frac {1} {3} (xy) ^ \ frac {1} {3} = 2x + 6 [(x + y) ( xy)] ^ \ frac {1} {3} = 2 ^ 3 [/ matemáticas]

Sabemos [matemática] (xy) (x + y) = x ^ 2-y ^ 2 = x ^ 2- (x ^ 2 + 1) = -1, [/ matemática] cuya raíz cúbica, ignorando soluciones complejas, es también [math] -1 [/ math], por lo que nuestra ecuación se simplifica a:

[matemáticas] 2x + -6 = 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 7 [/ matemáticas]

Comprobando que tenemos

[matemáticas] x ^ 2 + 1 = 50 [/ matemáticas] entonces [matemáticas] \ sqrt {x ^ 2 + 1} = \ sqrt {50} = 5 \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Necesitamos [math] \ sqrt [3] {7 + 5 \ sqrt {2}} [/ math] y [math] \ sqrt [3] {7 – 5 \ sqrt {2}} [/ math]. Es más fácil verificar que [math] 1 \ pm \ sqrt {2} [/ math] son ​​las raíces cúbicas, usando la fórmula [math] (a + b) ^ 3 [/ math] de arriba primero con [math] a = 1, b = \ sqrt {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] (1+ \ sqrt {2}) ^ 3 = 1 + 2 \ sqrt {2} + 3 \ sqrt {2} (1+ \ sqrt {2}) = 1 + 5 \ sqrt {2} + 6 = 7 + 5 \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Eso funciona, y de manera similar [matemáticas] (1- \ sqrt {2}) ^ 3 = 7 – 5 \ sqrt {2} [/ matemáticas]. Así, cuando [matemáticas] x = 7 [/ matemáticas],

[matemáticas] \ sqrt [3] {x + \ sqrt {x ^ 2 + 1}} + \ sqrt [3] {x- \ sqrt {x ^ 2 + 1}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 + \ sqrt {2} + 1 – \ sqrt {2} = 2 \ \ \ \ marca de verificación [/ matemáticas]

Answer 2

Deje que [matemáticas] a = \ sqrt [3] {x + \ sqrt {x ^ 2 + 1}} [/ matemáticas] y [matemáticas] b = \ sqrt [3] {x- \ sqrt {x ^ 2 + 1} }[/matemáticas]

Dado a + b = 2

Ahora [matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 = x + \ sqrt {x ^ 2 + 1} + x- \ sqrt {x ^ 2 + 1} = 2x [/ matemáticas]

pero [matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ^ 3-3ab (a + b) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 ^ 3-3 * \ sqrt [3] {(x + \ sqrt {x ^ 2 + 1)} (x- \ sqrt {x ^ 2 + 1})} * 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 ^ 3-6 * \ sqrt [3] {x ^ 2- (x ^ 2 + 1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 8-6 * \ sqrt [3] {- 1} = 8-6 * (- 1) = 14 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] 2x = 14

Entonces x = 7

[matemáticas] \ subrayado {Rápido \ \ comprobación} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt [3] {x + \ sqrt {x ^ 2 + 1}} = \ sqrt [3] {7+ \ sqrt {7 ^ 2 + 1}} = \ sqrt [3] {7+ \ sqrt {50}} = 2.414214 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt [3] {x- \ sqrt {x ^ 2 + 1}} = \ sqrt [3] {7- \ sqrt {7 ^ 2 + 1}} = \ sqrt [3] {7- \ sqrt {50}} = – 0.414214 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt [3] {x + \ sqrt {x ^ 2 + 1}} + \ sqrt [3] {x- \ sqrt {x ^ 2 + 1}} = 2.414214 + (- 0.414214) = 2 [/ matemáticas]

Answer 3

Aquí hay una manera de resolver esto:

Cubemos ambos lados de la ecuación:

[matemáticas] (\ sqrt [3] {x + \ sqrt {x ^ 2 + 1}} + \ sqrt [3] {x- \ sqrt {x ^ 2-1}}) ^ 3 = 8 [/ matemáticas]

Ahora usando fórmula

[matemáticas] (A + B) ^ 3 = A ^ 3 + B ^ 3 + 3AB (A + B) [/ matemáticas]

obtenemos

[matemáticas] x + \ sqrt {x ^ 2 + 1} + x- \ sqrt {x ^ 2 + 1} +3 \ sqrt [3] {x + \ sqrt {x ^ 2 + 1}} \ sqrt [3] { x- \ sqrt {x ^ 2 + 1}} (\ sqrt [3] {x + \ sqrt {x ^ 2 + 1}} + \ sqrt [3] {x- \ sqrt {x ^ 2 + 1}}) = 8 [/ matemáticas]

Ahora sabemos que

[matemáticas] \ sqrt [3] {x + \ sqrt {x ^ 2 + 1}} + \ sqrt [3] {x- \ sqrt {x ^ 2 + 1}} = 2 [/ matemáticas]

y

[matemáticas] 3 \ sqrt [3] {x + \ sqrt {x ^ 2 + 1}} \ sqrt [3] {x- \ sqrt {x ^ 2 + 1}} = 3 \ sqrt [3] {x ^ 2 – {(\ sqrt {x ^ 2 + 1})} ^ 2} = 3 \ sqrt [3] {x ^ 2-x ^ 2-1} = 3 \ sqrt [3] {- 1} = – 3 [ /matemáticas]

Entonces obtenemos:

[matemáticas] 2x-3 \ cdot2 = 8 \ Flecha derecha x = 7 [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] x = 7 [/ matemáticas] es la solución de la ecuación dada.

Answer 4

Answer 5

Si lo veo .
Una hábil sustitución

Answer 6

Resolví la pregunta en papel … Proporcionando la instantánea … Espero que ayude. Se requiere un comentario de aclaración. Todos los supuestos dados. Espero que la fórmula para (a + b) ^ 3