¿Qué es la homología en palabras simples?

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Quizás sea mejor mirar primero los orígenes del concepto de homología, antes de simplemente indicar la respuesta general.
En primer lugar, cada propiedad topológica se crea o descubre de modo que sea invariable para las variedades que son topológicamente equivalentes: es decir, nos ayudan a identificar las variedades homeomorfas.
La característica de Euler fue una de las primeras propiedades de una variedad topológica que nos ayudó a hacer esto, pero no fue lo suficientemente precisa: no es capaz de identificar la orientación suficiente para diferenciar entre un toro y una botella de Klein, por ejemplo. Entonces debemos buscar un invariante que codifique la orientación.
La técnica de dividir un colector en complejos celulares (básicamente, dividir el colector en piezas coherentes no superpuestas) ya se usaba en cálculo para calcular integrales sobre colectores, y se usaron específicamente para codificar la orientación, extremadamente importante para la integración , por lo que tiene sentido pedirlos prestados para este propósito. Además, su información de orientación significa que formaron un maravilloso álgebra abeliana, y codificaron la información de límites automáticamente, por lo que también codificaron cuando un colector encerró una cavidad.
Ahora, un complejo celular no es solo dividir una variedad en pedazos: codificamos reglas de orientación consistentes en cada dimensión de cada pieza. Por ejemplo, considere un avión euclidiano. Un complejo celular válido es cortar la esfera en triángulos (esféricos). La cara bidimensional de cada triángulo es parte de la variedad y, por lo tanto, le damos una orientación a cada cara y la llamamos 2 celdas. Piensa en un vector de momento angular. Aunque prácticamente, solo hay dos orientaciones para asignar: + o -.
Cada lado unidimensional de cada triángulo también es parte del colector y debe recibir una orientación. Cada ciclo de 3 lados forma una cadena compleja de 1 célula, y el ciclo puede recibir un álgebra natural: es la suma de las células 1 que lo componen.
Del mismo modo, seguimos adelante y orientamos los vértices para formar complejos de células 0.
Cada dimensión tiene su propio álgebra de cadena celular.
Sin embargo, hay muchas formas de formar un complejo celular en una superficie. Sería mejor si pudiéramos crear relaciones de equivalencia para que dos complejos de células para la misma variedad nos dieran el mismo álgebra. De esta manera, no tendríamos que preocuparnos por complejos celulares particulares, y solo enfocarnos en las propiedades generales que todos los complejos celulares compartían para un colector particular.
La manera fácil de hacer esto es eliminar los bucles que no contienen información: es decir, si hay una cadena compleja de células n en un colector que contiene “simplemente más colector”, no hay necesidad de la cadena adicional, ya que no contiene información geométrica o topológica de interés. Si contuviera una cavidad, por otro lado, se conservaría.
Una vez que eliminemos todos estos complejos redundantes de cualquier complejo de células n, siempre terminaremos con un grupo algebraico único de ciclos celulares n-dimensionales (hasta isomorfismo) que llamamos el enésimo grupo de homología del múltiple. Si prestara atención a los ciclos que se eliminaron anteriormente, notaría que lo que quede ahora también debe contener no solo información de orientación, sino también información sobre si hay agujeros o cavidades encerradas por el múltiple, ya que explícitamente no eliminamos esos ciclos .
Esto puede parecer un poco abstracto, así que echemos un vistazo a un complejo celular real: aquí hay uno simple para el toro:

Ya se han eliminado las cadenas de complejos celulares redundantes, de modo que solo tenemos ciclos celulares que no son homólogos. A es el ciclo único de 2 celdas, {a, b} son los ciclos de 1 celda y β es el ciclo único de 0 celdas. Como A es el único ciclo de 2 celdas, su álgebra es isomorfa a la de Z (A puede sumarse o restarse de sí mismo cualquier cantidad de veces, por insignificante que sea). Por lo tanto, este es el grupo de 2 homologías del toro bidimensional. Del mismo modo, la homología 1 es isomorfa a ZxZ, y finalmente la homología 0 también es isomorfa a Z.
La 2-homología es clave en este caso particular: si hiciste un complejo similar para una botella de Klein, verías que su segundo grupo de homología era {0} no Z. Esto puede verse fácilmente como resultado de que la botella de Klein en realidad no que encierra una cavidad (tridimensional). Por lo tanto, la homología nos permite distinguir entre más variedades que la característica de Euler.
Con más detalle, cada grupo de homología superior a 0 nos informa sobre los agujeros de esa dimensión, ya que eliminamos las cadenas del complejo que no contenían un agujero. Esta secuencia de grupos de homología para el toro nos dice que hay 2 agujeros 1-dimensionales (b es un círculo que, en un sentido hecho preciso por la homotopía, no puede reducirse a un punto y aún permanecer en la variedad. Lo mismo es cierto para a) y un agujero bidimensional.
Los ciclos de las celdas 0, con un poco de reflexión, parecen decirnos cuántos componentes conectados hay, ya que es factible que a cada componente solo le quede un ciclo de celdas 0 después de eliminar todos los ciclos redundantes.
En su caso, un círculo unidimensional puede alojar solo 0 ciclos y 1 ciclos. Debería ser fácil ver que solo puede haber un ciclo 0 no redundante y 1 ciclo no redundante limitado por el ciclo 0 único.

Por lo tanto, los grupos de homología 0 y 1 son ambos isomorfos a Z (podemos sumar / restar el ciclo individual a sí mismo tantas veces como queramos y obtener un ciclo válido). Como no hay elementos en ningún complejo celular de dimensiones superiores, decimos que los grupos de homología 2da, 3ra, y así sucesivamente son isomorfos al grupo trivial {0}, ya que no contienen ciclos, y por lo tanto el único elemento que contendrían es 0, la identidad aditiva.
Sin pasar por el rigor de construir ciclos, pero trabajando hacia atrás de lo que intuitivamente sabemos sobre los círculos, deberíamos haber adivinado esta información por el hecho de que un círculo tiene solo 1 componente conectado y contiene un solo agujero (delimitado por un 1-dimensional Perímetro). Y siendo unidimensional, no contendría ninguna cavidad de dimensiones superiores.