¿Cómo se prueba e ^ ln (a) = a matemáticamente?

Answer 1

Esta pregunta no tiene sentido a menos que diga cuáles son sus definiciones de e ^ x y ln (x). Existen diferentes definiciones, y la dificultad de la prueba dependerá de la definición que use.

Como no nos ha dicho su definición preferida, utilizaré mis definiciones favoritas para estas dos funciones.

Definición 1: La función e ^ x es la función única f (x) tal que f ‘(x) = f (x) yf (0) = 1.

Definición 2: La función ln (x) está definida por la fórmula [matemáticas] \ ln (x) = \ int_1 ^ x \ frac {1} {t} dt [/ matemáticas] (para todos los números reales positivos x).

Ahora que he dado definiciones específicas, es posible dar una prueba precisa.

Prueba de que e ^ (ln x) = x para todos los números reales positivos x : defina la función f (x) por [matemáticas] f (x) = e ^ {\ ln x} / x [/ matemáticas]. Esto está bien definido para todas las x positivas. Por la regla de la cadena y la regla del cociente, se sigue que

[matemáticas] \ frac {d} {dx} f (x) = \ frac {e ^ {\ ln x} \ frac {d \ ln x} {dx} \ cdot x- e ^ {\ ln x} \ cdot 1} {x ^ 2} [/ matemáticas].

Ahora use el hecho de que la derivada de ln (x) es 1 / x (debido al teorema fundamental del cálculo). Una pequeña simplificación muestra que [math] f ‘(x) = 0 [/ math]. Entonces f (x) es constante. Por definición, f (1) = e ^ (0) / 1 = 1. Entonces f (x) = 1 para todo x. Por lo tanto, e ^ (ln x) = x para todos los x positivos.

Como otros señalan, sin embargo, una definición muy común de ln (x) es simplemente “la función inversa de e ^ x”. Entonces, si esa es su definición, entonces no hay nada que demostrar en absoluto.

Answer 2

En cierto sentido, esta es realmente una cuestión de definiciones. Repasemos rápidamente:
[math] e ^ x [/ math] se define como “el número [math] e [/ math] elevado a la potencia [math] x [/ math]”. Eso está bastante claro.

Y [math] \ log \ left (y \ right) [/ math] se define como “el logaritmo de y a la base [math] e [/ math]”. En otras palabras, [math] \ log \ left (y \ right) [/ math] es el número al que tiene que subir [math] e [/ math] para obtener [math] e [/ math]. (Eso es lo que significa el logaritmo: encontrar el ‘exponente’ o ‘potencia’ que produce un número dado).

Eso es un poco confuso, ¡así que piénsalo un poco! La función “log” se trata de averiguar qué número tiene que usar como exponente sobre [math] e [/ math] para obtener el número que está buscando.

Al unirlos, [math] e ^ {\ log \ left (a \ right)} [/ math] es [math] a [/ math] casi por definición. ¿Por qué? Porque [math] \ log \ left (a \ right) [/ math] es el número que pones en el exponente de e para obtener a, y eso es exactamente lo que estamos haciendo en [math] e ^ {\ log \ left (a \ right)} [/ math].

Una respuesta más simple es decir que [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] y [matemáticas] \ log \ left (a \ right) [/ matemáticas] son ​​funciones inversas entre sí. Si los combinas, obtienes la identidad. El primero es elevar [matemáticas] e [/ matemáticas] a un exponente, el segundo deshace esa operación.

OKAY. Ahora, hay otras formas quizás más interesantes y más “naturales” de definir [math] \ log \ left (a \ right) [/ math]. El más común es definirlo como el área bajo la curva [matemática] 1 / x [/ matemática] entre [matemática] 1 [/ matemática] y [matemática] a [/ matemática] (que es una integral). Pero es bastante sencillo demostrar que esto es equivalente a la definición anterior, a saber, que la integral de [math] y = 1 / x [/ math] es el registro tal como se definió anteriormente.

Answer 3

Esta es una ecuación exponencial. En pocas palabras, si encuentra el logaritmo de a base e, obtiene el índice al que e se eleva en la ecuación anterior. es decir

ln (a) = ln (a)

por lo tanto, se deduce que a = a

Answer 4

Prueba: esa es la definición. QED

Answer 5

Es mucho más fácil mostrar que [math] \ log \ left (e ^ x \ right) = x [/ math]. Solo tomamos derivados: [math] \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ log \ left (e ^ x \ right) = 1 [/ math], y así [math] \ log \ left (e ^ x \ right) = x + c [/ math] para alguna constante [math] c [/ math]. Sabemos que [math] \ log \ left (e ^ 0 \ right) = 0 [/ math], entonces [math] c = 0 [/ math]. Ahora solo tiene que comprar que [matemáticas] f (g (x)) = x [/ matemáticas] implica que [matemáticas] g (f (x)) = x [/ matemáticas], y ya está.