¿Cómo se descomponen [matemáticas] \ frac {1} {(1-x) (1-2x) \ cdots (1-kx)} [/ matemáticas] usando fracciones parciales?

Answer 1

bueno, las fracciones parciales nos dicen que existe [matemática] a_ {1, k}, a_ {2, k} \ ldots a_ {k, k} [/ matemática] tal que

[matemáticas] \ frac {1} {(1-x) \ cdots (1-kx)} = \ sum_ {i = 1} ^ k \ frac {a_ {i, k}} {1-ix} [/ math ]

que se puede reorganizar a

[matemáticas] 1 = \ sum_ {i = 1} ^ k a_ {i, k} \ prod_ {j = 1, j \ neq i} ^ k (1-jx) [/ math]

Ahora, si pudiéramos expandir el lado derecho de esto, simplemente igualaríamos los coeficientes del polinomio resultante (cada término con una x debería tener un coeficiente de 0).

Sin embargo, esto parece un enfoque bastante doloroso. Entonces, en lugar de eso, escribamos

[matemáticas] f (x) = \ sum_ {i = 1} ^ k a_ {i, k} \ prod_ {j = 1, j \ neq i} ^ k (1-jx) [/ math]

y evalúe esto en puntos convenientes ([matemática] m = 1, 2, \ ldots k [/ matemática]):

[matemáticas] f (1 / m) = \ sum_ {i = 1} ^ k a_ {i, k} \ prod_ {j = 1, j \ neq i} ^ k (1-j / m) [/ matemáticas]
[matemáticas] f (1 / m) = a_ {m, k} \ prod_ {j = 1, j \ neq m} ^ k (1-j / m) [/ matemáticas]

(pequeña nota sobre esto: para todos los términos en la suma donde [math] i \ neq m [/ math], el producto incluye el término [math] 1-j / m [/ math] para [math] j = m [ / math], que se evalúa a 0; por lo tanto, solo el término [math] i = m [/ math] de la suma es distinto de cero).

Entonces, recordando [math] f (x) = 1 [/ math] para todo x, tenemos

[matemáticas] a_ {m, k} = \ frac {1} {\ prod_ {j = 1, j \ neq m} ^ k (1-j / m)} [/ matemáticas]

Answer 2

Use la inducción matemática o el teorema binomial. El primer proove P (n) es verdadero para todos los valores posibles de x