¿Cómo es investigar en álgebra abstracta?

Answer 1

Aquí está mi historia de investigación en álgebra, siéntate.

(Solo digo álgebra, porque el resumen es redundante de la OMI)

Mi primera experiencia fue accidental.

Simplemente sucedió un poco. Estábamos haciendo una buena combinatoria a la antigua. Argumentos de conteo suaves y elegantes para la teoría de nudos. Claro que estaban hablando de una base para un espacio vectorial, pero en realidad no mucho álgebra. Y luego hicimos algunas reducciones mediante el cociente … y fue entonces cuando el álgebra se asomó por detrás de su agujero.

Álgebra: “Entonces, ¿quieres reducir por esta relación?”
Yo y el coautor: “bueno, sí. Quiero decir, así es como funcionan los nudos en esta representación”
A: “¿Dijiste representación?”
M: “Uh, sí, pero no así”.
A: “OK, volvamos al cociente”.
M: “¡Espera, no! No queremos esas cosas elegantes”.
A: “Ustedes niños tienen mucho que aprender”.

Y así fue. En una semana, nos dimos cuenta de la necesidad de álgebra en nuestro trabajo. El álgebra era totalmente natural, por lo que nunca “investigamos en álgebra”. Pero, la cosa era … Después de escribir nuestra base, nos dimos cuenta de MUCHA redundancia. De hecho, para aproximadamente 1/3 de los elementos básicos, llegaron en grupos de cuatro, con una transposición obvia de algunas decoraciones en los gráficos. Para evitar tecnicismos, tome una situación similar:

Tiene una ventana con cuatro paneles y desea pintar los cuatro paneles con 3 colores, ¿de cuántas maneras hay?

Te pones la gorra de pensamiento y dices “3 ^ 4, fácil”. Y genial, todos tienen un cigarro, hemos terminado. ¿Pero en serio? ¿Qué sucedería si estuviera hablando de una ventana real con paneles y estuviera acostada en el piso de su garaje (como debería ser una buena ventana)? Bueno, a medida que avanzas en círculos, fumando tu cigarro, notas algo. Algunos de los colores son los mismos que otros. Estás obteniendo redundancia por rotación. Entonces, lo que realmente desea es una elegante acción grupal de schmancy en su ventana, y desea ver los colores hasta esta acción grupal (en este caso, la acción grupal para la rotación será realizada por nuestro pequeño grupo cíclico de orden tres, o si tampoco sabes de qué lado mira tu ventana, tal vez el grupo diédrico).

Entonces, como pequeños estudiantes de secundaria, notamos que nuestra base de teoría de nudos para un misterioso espacio vectorial, V, tenía una acción grupal bastante sexy. El grupo de simetría era una pequeña combinación de grupos de permutación, y el cociente por su acción hizo nuestra base mucho más elegante.

Este fue mi primer contacto con la investigación de álgebra. Solo un poco como vino.

(Tengo la intención de agregar más más tarde).

Answer 2

No soy álgebraista ni nada, pero investigué álgebra durante un verano en una REU.

El problema fue motivado por la factorización “principal” en estas generalizaciones de los enteros, dominios Dedekind. Pero había una forma de traducir de ese entorno bastante abstracto a uno realmente simple, que se basaba en secuencias de números que suman cero o son congruentes con cero. Pasé todo mi tiempo trabajando y construyendo mi intuición allí.

Pasé mucho tiempo escribiendo factorizaciones de cosas, jugando con modelos de juguetes y, por supuesto, leyendo papeles para ver si tenían alguna buena idea. Para probar mi resultado, había dos ideas importantes. Resolví el problema en el caso más básico, lo que me pareció genial, pero pensé que todo el problema era mucho más complicado. Aproximadamente una semana después, me di cuenta de que cada problema podía reducirse a una secuencia anidada de las versiones simples. Cuando lo recibí, lo supe de inmediato, lo que era diferente de otras investigaciones que he realizado. Es un sentimiento realmente genial.