Creo que es más fácil pensar en Ext que en Tor, aunque son similares. Si viene a esto desde un primer curso de topología algebraica, le recomendaría que simplemente memorice las reglas para calcular Ext y Tor y no se preocupe demasiado por su origen.
La forma más concreta de pensar en Ext es que clasifica las extensiones. Una de las primeras cosas que aprende en álgebra es que un grupo abeliano G con un subgrupo B tiene un cociente A = G / B. Una pregunta importante es si uno puede determinar la extensión G dada solo las piezas A y B. Resulta en general que puede haber muchos G posibles, uno para cada elemento de Ext (A, B). En otras palabras, Ext (A, B) clasifica las extensiones de grupo abeliano de A por B, y Ext (A, B) = 0 si y solo si podemos recuperar G únicamente.
En el caso de que Ext (A, B) no sea trivial, habrá múltiples extensiones no isomórficas. Sin embargo, es un hecho extremadamente importante que cada morfismo de extensiones es un isomorfismo: este es el llamado cinco lema.
La versión más sofisticada de Ext (y los functores derivados en general) proviene de la teoría de la homotopía estable. Hay objetos geométricos llamados espectros que generalizan grupos abelianos y representan teorías de cohomología. Los functores derivados como Ext ^ n son los grupos de espectros de enésima (o décima) homotopía.
- Álgebra: ¿Por qué las cuadráticas generalmente tienen dos respuestas y cómo sabes cuál es la correcta?
- ¿Cuáles son las únicas soluciones enteras para las cuales [matemáticas] x (x (x-6) ^ 2-24) [/ matemáticas] es un cuadrado perfecto? ¿Cómo podemos probar esto?
- ¿Cómo calculo el área de superficie de una figura si un lado mide 7 cm, otro lado mide 5 cm y otro lado mide 8 cm y el último lado mide 3 cm?
- ¿Cómo se prueba e ^ ln (a) = a matemáticamente?
- ¿Cómo es investigar en álgebra abstracta?