Considere el conjunto de todas las matrices 2 * 2 sobre los racionales. ¿Cómo demuestras que los únicos ideales de este anillo son (0) y el anillo mismo?

Answer 1

Puedes probar esto de forma más mecánica (con menos elegancia). Lo que debe hacer es mostrar que para una matriz arbitraria distinta de cero, A, es posible construir otra matriz, B, que es invertible y en el mismo ideal que A. Dado que si hay un 2 no trivial ideal de R, entonces contiene un elemento distinto de cero (A decir) y si podemos demostrar que el ideal también debe contener un elemento invertible, se deducirá que el ideal es igual a R.

Como esto es bastante simple, lo haré para matrices nxn generales:

Sea M una matriz diferente de cero en R (matrices nxn), entonces alguna entrada de M no es cero: digamos que la entrada en la fila i, columna j (para algunas i, j) es m 0. Ahora defina la Eab matricial (1 <= a, b <= n) como la matriz que es cero en todas partes excepto la entrada en la fila a, columna b que es 1.

Ahora debería ser evidente que (Eaj x M x Eia) = mEaa, y (1 / m) (Eai x M x Eja) = Eaa.

Ahora bien, si M está en un ideal de 2 lados, también lo está Eaa debido a la construcción anterior. Entonces E11, E22, … Enn están todos en el ideal, y por lo tanto

I = E11 +… + Enn

También debe estar en el ideal.

La razón por la que esto funciona es que puedes multiplicar M en ambos lados y mantenerte dentro del ideal

Answer 2

Hay un resultado más general que muestra que los únicos ideales del lado izquierdo de un anillo de endomorfismo (es decir, un anillo de matriz) tienen la forma tal que incluye matrices que contienen un cierto subespacio del módulo subyacente en su núcleo. Del mismo modo, los únicos ideales del lado derecho de un anillo de endomorfismos son tales que su imagen es un subconjunto de un subespacio particular del módulo subyacente.

De esta información se deduce inmediatamente que los únicos ideales bilaterales de un anillo de endomorfismo son los triviales.

Nota: esto no implica que el anillo sea un campo, ya que el resultado es que un anillo es un campo si y solo si tiene solo los ideales triviales se aplica únicamente a los anillos conmutativos.