¿Por qué [math] \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {2 ^ n} {3 ^ {n + 1}} [/ math] converge a [math] \ frac {2} {3} [/ math ]?

Answer 1

Como David Joyce mencionó, la secuencia [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {2 ^ n} {3 ^ {n + 1}} [/ matemáticas] converge a [matemáticas] 0 [/ matemáticas], porque [matemáticas] 3 ^ n [/ matemáticas] crece más rápido que [matemáticas] 2 ^ n [/ matemáticas].

Por lo tanto, supongo que te refieres a la serie (suma infinita) dada por:
[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {2 ^ n} {3 ^ {n + 1}} = \ frac23 [/ matemáticas]

Vamos a manipular eso un poco algebraicamente:

• [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {2 ^ n} {3 ^ {n + 1}} [/ matemáticas]
• [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {2 ^ n} {3 \ cdot3 ^ {n}} [/ matemáticas]
• [matemáticas] \ frac13 \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ left (\ frac23 \ right) ^ n [/ math]
• [math] \ frac13 [/ math] multiplicado por la suma de la serie geométrica con [math] a = \ frac23 [/ math] y [math] r = \ frac23 [/ math]
• [matemáticas] \ frac13 \ left (\ frac {\ frac23} {1 – \ frac23} \ right) [/ math]
• [matemáticas] \ frac13 \ left (\ frac {\ frac23} {\ frac13} \ right) [/ math]
• [matemáticas] \ frac23 [/ matemáticas]

donde la suma [matemática] S [/ matemática] de una serie geométrica con el término inicial [matemática] a [/ matemática] y la razón común [matemática] r [/ matemática], [matemática] | r | <1 [/ math], viene dado por [math] S = \ frac {a} {1-r} [/ math].

En otras palabras, es solo manipulación algebraica. Leyes de exponentes, fórmula de series geométricas.

Answer 2

Esto se puede escribir como {(2/3) ^ n * (1/3)} cuando n tiende a infinito y.

Como 2/3 es una fracción yn tiende al infinito, cualquier fracción de una potencia que tiende al infinito se aproxima a 0, por lo tanto, cuando se multiplica por otra fracción (1/3), la ecuación completa se convierte en o

Yo diría ‘tiende’ a 0 (CERO).