Un plano en el espacio es un subconjunto P del espacio que satisface las siguientes tres condiciones.
- para cualquiera de los dos puntos en P , todos los demás puntos en la línea recta determinados por esos dos puntos también se encuentran en P
- existen tres puntos no colineales en P
- P no es todo el espacio
Las condiciones 2 y 3 están ahí para obtener la dimensión correcta. La condición 2 dice que la dimensión es al menos 2, y la condición 3 dice que no es 3.
Veamos solo la condición 1. Te dejaré las condiciones 2 y 3.
Deje que [math] (x_1, y_1, z_1) [/ math] y [math] (x_2, y_2, z_2) [/ math] sean dos puntos en P, es decir, ambos satisfacen la ecuación.
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[matemáticas] ax_1 + por_1 + cz_1 = d [/ matemáticas]
[matemáticas] ax_2 + by_2 + cz_2 = d [/ matemáticas]
Debe conocer las coordenadas de los otros puntos en la línea determinados por esos dos puntos. * Son
[matemáticas] t (x_1, y_1, z_1) + (1-t) (x_2, y_2, z_2) [/ matemáticas]
para varios valores de [math] t. [/ math] Debe mostrar que ese punto también se encuentra en P , en otras palabras, también satisface la ecuación.
[matemáticas] a (tx_1 + (1-t) x_2) [/ matemáticas]
[matemáticas] + \; b (ty_1 + (1-t) y_2) [/ matemáticas]
[matemáticas] + \; c (tz_1 + (1-t) z_2) = d [/ matemáticas]
Puede deducir eso sumando [matemática] t [/ matemática] veces la primera ecuación a [matemática] 1-t [/ matemática] veces la segunda ecuación.
* Todo esto presupone que ya ha demostrado que tres puntos son colineales si el tercero es la “combinación t ” de los dos primeros. Hay otras caracterizaciones de colinealidad y conducirán a pruebas ligeramente diferentes.