¿Cómo resuelve [math] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} \! \ Frac {x ^ 3} {e ^ x-1} \ dx [/ math]?

Answer 1

Una definición muy conocida de la función Riemann Zeta …

[matemáticas] \ en caja {\ color {azul} {\ implica \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {u ^ {x-1}} {e ^ {u} -1} \, du = \ zeta (x). \ Gamma (x)}} [/ math]

aquí [matemáticas] (x-1) = 3 \ implica x = 4 [/ matemáticas]

entonces la integral será

[matemáticas] \ large \ boxed {I = \ zeta (4) \ Gamma (4) = 6. \ dfrac {\ pi ^ {4}} {90} = \ dfrac {\ pi ^ {4}} {15} }[/matemáticas]

---

Prueba de la propiedad anterior de Riemann Zeta :

Primero, la función gamma se define como ..

[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {+ \ infty} z ^ {x-1} e ^ {- z} \, dz = \ Gamma (x) [/ math]

ahora tomemos una serie …

[matemáticas] \ dfrac {1} {e ^ u-1} = e ^ {- u} + e ^ {- 2u} + e ^ {- 3u} + \ ldots [/ matemáticas]

entonces la integral se convierte

[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {u ^ {x-1}} {e ^ {u} -1} \, du = \ displaystyle \ sum_ {n \ ge 1} \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} u ^ {x-1} e ^ {- nu} \, du [/ math]

ahora reemplaza [math] u = \ frac {z} {n} [/ math], tendremos

[matemáticas] I = \ displaystyle \ sum_ {n> 1} \ left (\ dfrac {1} {n} \ right) ^ {x} \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} z ^ {x-1 } e ^ {- z} \, dz = \ zeta (x) \ Gamma (x) [/ math]

-> Para otra prueba ver sección de comentarios

Answer 2

Algunas grandes respuestas ya han aparecido en este hilo. Aquí hay otra forma posible de obtener toda la familia de integrales.

[matemáticas] \ displaystyle I_n: = \ int_0 ^ {\ infty} \! \! \! \ mathrm {d} x ~ \ frac {x ^ {n + 1}} {e ^ x-1}, \ qquad n = 0,1,2… [/ matemáticas]

Comencemos definiendo la serie de potencia formal (llamada función generadora)

[matemáticas] \ displaystyle G (z): = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {I_n} {n!} z ^ n, \ qquad (A) [/ math]

donde los valores permitidos de [math] z [/ math] que garantizan la convergencia de esta serie se especificarán en un segundo. Al conectar la definición de [matemáticas] I_n [/ matemáticas] anterior, obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle G (z) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {z ^ n} {n!} \ int_0 ^ {\ infty} \! \! \! \ mathrm {d } x ~ \ frac {x ^ {n + 1}} {e ^ x-1} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int_0 ^ {\ infty} \! \! \! \ mathrm {d} x ~ \ frac {x} {e ^ x-1} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ nz ^ n} {n!} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int_0 ^ {\ infty} \! \! \! \ mathrm {d} x ~ \ frac {x} {e ^ x-1} \, e ^ {zx}. \ qquad (B )[/matemáticas]

Promover, adicional,

[matemáticas] \ displaystyle G (z) = \ int_0 ^ {\ infty} \! \! \! \ mathrm {d} x ~ \ frac {x} {e ^ x-1} \, e ^ {zx + xx }[/matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int_0 ^ {\ infty} \! \! \! \ mathrm {d} x ~ \ frac {x} {e ^ x-1} e ^ {(z-1) x} (e ^ x-1 + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int_0 ^ {\ infty} \! \! \! \ mathrm {d} x ~ x \, e ^ {(z-1) x} + \ int_0 ^ {\ infty} \! \ ! \! \ mathrm {d} x ~ \ frac {x} {e ^ x-1} \, e ^ {(z-1) x} [/ math]

Tenga en cuenta que la segunda integral es simplemente [matemática] G (z-1) [/ matemática], mientras que la primera integral converge solo si [matemática] z <1 [/ matemática].

Dejando [math] y = (1-z) x [/ math] en la primera integral, tenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ {\ infty} \! \! \! \ mathrm {d} x ~ x \, e ^ {(z-1) x} = \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {\ mathrm {d} y} {(1-z) ^ 2} \, y \, e ^ {- y} = \ frac {1} {(1-z) ^ 2}, [/ math]

que produce la ecuación funcional

[matemática] \ displaystyle G (z) -G (z-1) = \ frac {1} {(1-z) ^ 2} [/ matemática]

satisfecho por [matemáticas] G (z) [/ matemáticas]. Para resolver esta ecuación, sumamos las ecuaciones

[matemática] \ displaystyle G (z) -G (z-1) = \ frac {1} {(1-z) ^ 2} [/ matemática]

[matemáticas] \ displaystyle G (z-1) -G (z-2) = \ frac {1} {(2-z) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle G (z-2) -G (z-3) = \ frac {1} {(3-z) ^ 2} [/ matemáticas]

ad infinitum, obteniendo

[matemáticas] \ displaystyle G (z) -G (- \ infty) = \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {(kz) ^ 2} [/ math]

donde lhs resulta de la cancelación de términos adyacentes. Además, vemos en la ecuación [matemáticas] (B) [/ matemáticas], que [matemáticas] G (- \ infty) = 0 [/ matemáticas]. Por lo tanto,

[matemáticas] \ displaystyle G (z) = \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {(kz) ^ 2} [/ matemáticas]

Ahora, podemos cosechar los frutos de [matemáticas] G (z) [/ matemáticas].

De la ecuación [matemáticas] (A) [/ matemáticas], tenemos

[matemáticas] \ displaystyle I_n = G ^ {(n)} (0), [/ matemáticas]

donde [math] G ^ {(n)} (z) [/ math] es la [math] n ^ {\ text {th}} [/ math] derivada de [math] G [/ math] wrt [math] z [/ matemáticas]. Usando la identidad

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d} ^ n} {\ mathrm {d} z ^ n} \ frac {1} {(kz) ^ 2} = \ frac {(n + 1)!} { (kz) ^ {n + 2}} [/ matemáticas]

encontramos

[matemáticas] \ displaystyle G ^ {(n)} (z) = \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {(n + 1)!} {(kz) ^ {n + 2}}. [/matemáticas]

Finalmente tenemos

[matemáticas] \ displaystyle I_n = \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {(n + 1)!} {k ^ {n + 2}} = (n + 1)! \ zeta (n + 2) [/ matemáticas]

Este resultado también sigue la conocida representación integral de la función zeta de Riemann utilizada por Siddhartha Ganguly anteriormente.

En particular, tenemos

[matemáticas] \ displaystyle I_0 = \ int_0 ^ {\ infty} \! \! \! \ mathrm {d} x ~ \ frac {x} {e ^ x-1} = \ zeta (2) = \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle I_2 = \ int_0 ^ {\ infty} \! \! \! \ mathrm {d} x ~ \ frac {x ^ 3} {e ^ x-1} = 3! \ zeta (4) = \ frac {\ pi ^ 4} {15} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle I_4 = \ int_0 ^ {\ infty} \! \! \! \ mathrm {d} x ~ \ frac {x ^ 5} {e ^ x-1} = 5! \ zeta (6) = \ frac {8 \ pi ^ 6} {63} [/ matemáticas]

PD: Un físico identificaría [matemática] I_n [/ matemática] como el área bajo la curva de distribución de Bose-Einstein para una partícula spin [matemática] n + 1 [/ matemática] con potencial químico [matemática] \ mu [/ matemática] establecido en [matemáticas] 0 [/ matemáticas].

Salud !

Answer 3

A la luz de otras respuestas proporcionadas aquí, señalaría que la integral dada es un caso especial para la transformación Mellin de la función [matemáticas] f (x) = \ dfrac {1} {e ^ x – 1}. [/ matemáticas]

Definimos la transformación de Mellin de una función como:

[matemáticas] \ displaystyle \ large \ boxed {\ mathcal {M} \ left \ {f (x) \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} x ^ {p-1} f (x) \ , dx} \\ [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ mathcal {M} \ left \ {\ dfrac {1} {e ^ x-1} \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} x ^ {p-1} \ dfrac {1} {e ^ x-1} \, dx [/ math]

Para evaluar esto, utilizamos el siguiente resultado Infinite GP:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {- nx} = \ dfrac {1} {1-e ^ {- x}} = \ dfrac {e ^ x} {e ^ x – 1} [/ matemáticas]

Dividiendo ambos lados por [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] observamos,

[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {1} {e ^ x – 1} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {e ^ {- nx}} {e ^ x} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {- (n + 1) x} = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} e ^ {- nx} [/ math]

Por lo tanto, nuestra transformación Mellin se simplifica como,

[matemáticas] \ displaystyle \ mathcal {M} \ left \ {\ dfrac {1} {e ^ x-1} \ right \} = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ { \ infty} x ^ {p-1} e ^ {- nx} \, dx = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {\ Gamma (p)} {n ^ p} = \ Gamma ( p) \ zeta (p) \ tag * {(1)} [/ math]

En la pregunta dada, [matemáticas] p = 4 [/ matemáticas], y por lo tanto la respuesta es

[matemáticas] \ displaystyle \ Gamma (4) \ zeta (4) = \ dfrac {\ pi ^ 4} {15} [/ matemáticas]

---

Explicando un poco el paso [matemáticas] (1) [/ matemáticas]:

Sabemos que [math] \ displaystyle \ Gamma (p) = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x} x ^ {p-1} \, dx. [/ Math] Entonces,

[matemáticas] \ displaystyle \ Gamma (p) = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- nx} (nx) ^ {p-1} \, d (nx) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ Gamma (p) = n ^ p \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- nx} x ^ {p-1} \, dx \ implica \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- nx} x ^ {p-1} \, dx = \ dfrac {\ Gamma (p)} {n ^ p} [/ math]

Y por lo tanto,

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ {\ infty} x ^ {p-1} e ^ {- nx} \, dx = \ sum_ {n = 1 } ^ {\ infty} \ dfrac {\ Gamma (p)} {n ^ p} = \ Gamma (p) \ zeta (p) [/ math]

donde [matemáticas] \ displaystyle \ zeta (p) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {n ^ p} \ left (\ Re (p)> 1 \ right) [/ math ] es la función Riemann Zeta.

---

Solo quiero agregar que si la pregunta se modificó a [matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {x ^ 3} {e ^ x + 1} \, dx [/ matemáticas] O [matemáticas ] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {x ^ 3} {(e ^ x-1) ^ 2} \, dx [/ math] los siguientes resultados pueden ser útiles:

• [matemáticas] \ matemáticas {M} \ left \ {\ dfrac {1} {e ^ x + 1} \ right \} = \ left (1-2 ^ {1-p} \ right) \ Gamma (p) \ zeta (p) \\ [/ matemáticas]
• [matemáticas] \ matemáticas {M} \ left \ {\ dfrac {1} {\ left (e ^ x-1 \ right) ^ 2} \ right \} = \ Gamma (p) \ left [\ zeta (p- 1) – \ zeta (p) \ right] [/ math]

La generalización se deja como un ejercicio para el lector 🙂

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Gracias a mi hermano Sid por presentarme la Transformación Mellin. Como aspirante a ingeniero eléctrico, diría que es una gran herramienta.

Answer 4

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ 3e ^ {- x}} {1 – e ^ {- x}} dx = \ int_0 ^ {\ infty} x ^ 3e ^ {- x } \ sum_ {i = 0} ^ {\ infty} e ^ {- ix} dx = \ sum_ {i = 0} ^ {\ infty} \ int_0 ^ {\ infty} x ^ 3e ^ {- (i + 1 ) x} dx [/ matemáticas]

Sustituya [matemáticas] (i + 1) x = y [/ matemáticas] en cada integral para obtener,

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ 3e ^ {- x}} {1 – e ^ {- x}} dx = \ sum_ {i = 0} ^ {\ infty} \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {y ^ 3} {(i + 1) ^ 4} e ^ {- y} dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ left (\ int_0 ^ {\ infty} y ^ 3e ^ {- y} dy \ right) \ left (\ sum_ {i = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {( i + 1) ^ 4} \ right) = \ Gamma (4) \ zeta (4) [/ math]

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En general,

[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {s-1} e ^ {- x}} {1 – e ^ {- x}} dx = \ Gamma (s) \ zeta (s) \; \; \; \ forall s> 1 [/ matemáticas]

Answer 5

Expande usando la serie geométrica: [matemáticas] \ frac {1} {e ^ x-1} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty e ^ {- (n + 1) x} [/ matemáticas]. Intercambio de suma e integración, y su integral puede reescribirse como: [matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1} {(n + 1) ^ 4} \ cdot \ int_0 ^ \ infty u ^ 3 e ^ {- u} du [/ math], donde hice la sustitución [math] u = (n + 1) x [/ math].

Answer 6

Esta es una identidad bien conocida que involucra la función gamma y la función zeta. Uno puede probarlo escribiendo el denominador en la integral como una suma infinita (después de las manipulaciones apropiadas).

Answer 7

usa series geométricas infinitas.

Espero que esto responda a su pregunta, en caso de que desee la prueba de la suma de la serie armónica. Házmelo saber.