Geometría: ¿Cómo podemos demostrar que un “icosaedro truncado” está formado por 12 pentágonos y 20 hexágonos?

Answer 1

Intuitivamente, se forma un icosaedro truncado cortando los tercios superiores de las puntas de un icosaedro.

Si miramos el icosaedro arriba [1] podemos ver que tiene 12 vértices y 20 caras, todos los cuales son triángulos equiláteros. También podemos ver que hay exactamente 5 triángulos alrededor de cada vértice.

Cuando cortamos el tercio superior de cada vértice, nos queda una cara pentagonal donde solía estar cada vértice, por lo que obtenemos 12 caras pentagonales en total (una para cada vértice). También cortamos las esquinas de los triángulos, convirtiendo cada uno en un hexágono como se muestra a continuación, por lo que obtenemos 20 caras hexagonales (una para cada cara triangular en el icosaedro original).

Editar:
Supongamos que sabemos que un icosaedro truncado tiene 60 vértices, 90 bordes y un número desconocido de caras, algunas de las cuales son pentágonos regulares y algunas son hexágonos regulares.

Sea [math] h [/ math] el número de caras hexagonales y [math] p [/ math] el número de caras pentagonales. Entonces el número total de caras es [matemática] f = h + p [/ matemática].

Como los hexágonos tienen 6 vértices y los pentágonos tienen 5 vértices cada uno, el número total de vértices es [matemática] 6h + 5p [/ matemática]. Sin embargo, esto cuenta cada vértice 3 veces (dado que 3 caras se encuentran en cada vértice en un icosaedro truncado), entonces [matemáticas] 6h + 5p = 3v [/ matemáticas].

Del mismo modo, los hexágonos tienen 6 aristas y los pentágonos tienen 5 aristas cada uno, y dos caras se encuentran en cada arista, entonces [matemática] 6h + 5p = 2e [/ matemática].

Finalmente, de la Fórmula del Poliedro de Euler, sabemos que [matemáticas] v – e + f = 2 [/ matemáticas],

Luego tenemos las ecuaciones:
[matemáticas] v = 60 [/ matemáticas]
[matemáticas] e = 90 [/ matemáticas]
[matemáticas] f = h + p [/ matemáticas]
[matemáticas] v – e + f = 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] 6h + 5p = 3v [/ matemáticas]
[matemáticas] 6h + 5p = 2e [/ matemáticas]
… que podemos resolver para encontrar h = 20 y p = 12.

(De hecho, tenemos una ecuación más que variable, por lo que incluso si conocemos solo una de v = 60 y e = 90, aún podemos resolver el sistema de ecuaciones).

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Fil…