La prueba de la existencia de la línea de Euler en un triángulo es bastante impresionante, como lo demuestran las pruebas geométricas. 🙂
Básicamente, la afirmación es que en un triángulo, el ortocentro [matemático] H [/ matemático], el centroide [matemático] G [/ matemático] y el circuncentro [matemático] O [/ matemático] son colineales y [matemático] G [/ matemática] divide [matemática] HO [/ matemática] en la proporción [matemática] 2: 1 [/ matemática]. Probaré la declaración con la ayuda de dos lemas.
Lema 1: El triángulo medial (es decir, [matemática] \ Delta DEF [/ matemática] formado por los puntos medios de los lados [matemática] BC [/ matemática], [matemática] CA [/ matemática] y [matemática] AB [/ matemática ] respectivamente) es similar a [matemática] \ Delta ABC [/ matemática] con los lados correspondientes en la proporción [matemática] 1: 2 [/ matemática]. Esta es una aplicación directa del teorema del punto medio, [matemática] EF [/ matemática] es paralela a [matemática] BC [/ matemática] y la mitad de [matemática] BC [/ matemática].
Lema 2: El ortocentro del triángulo medial coincide con el circuncentro del triángulo original. Esto se puede ver fácilmente por el hecho de que la bisectriz perpendicular para la [matemática] \ Delta ABC [/ matemática] original, se dobla como una altitud para la [matemática] \ Delta DEF medial, [/ matemática] desde [matemática] EF [ / math] es paralelo a [math] BC [/ math], lo que hace que la bisectriz perpendicular que pasa por [math] D [/ math] sea una altitud para el triángulo medial.
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Ahora considere los triángulos [math] AHG [/ math] y [math] DOG [/ math]. Dado que [math] AH [/ math] es paralelo a [math] DO [/ math], y [math] AD [/ math] actúa como la transversal, [math] \ angle HAG = \ angle ODG [/ math]. Además, utilizando el hecho de que el centroide divide la mediana en la proporción [matemática] 2: 1 [/ matemática], también podemos concluir que [matemática] AG: DG = 2: 1 [/ matemática]. Ahora, por el Lema 2, el punto [matemático] O [/ matemático] es el ortocentro del triángulo medial [matemático] DEF [/ matemático] y por el Lema 1, el triángulo medial es similar al triángulo [matemático] ABC [/ matemático] en la proporción 1: 2. Esta relación se aplicaría a todas las distancias correspondientes en los dos triángulos. Dado que el vértice [matemático] A [/ matemático] corresponde al vértice [matemático] D [/ matemático] y el ortocentro [matemático] H [/ matemático] corresponde al punto [matemático] O [/ matemático], [matemático] AH: DO [/ math] también debe ser igual a [math] 2: 1 [/ math].
Ahora hemos demostrado que dos lados de los triángulos [matemática] AHG [/ matemática] y [matemática] PERRO [/ matemática] tienen la misma proporción, y su ángulo incluido es igual. Esto es claramente suficiente para demostrar que los dos triángulos son similares. Por lo tanto, [matemática] \ angle AGH = \ angle DGO [/ math]. Esto prueba que [matemática] H [/ matemática], [matemática] G [/ matemática] y [matemática] O [/ matemática] deben ser colineales, y también, en la misma proporción que obtuvimos previamente, [matemática] HG: GO = 2: 1 [/ matemáticas].
¡Dos pájaros con una piedra! 🙂
