Geometría: ¿Se puede colocar cualquiera de los otros cuatro sólidos platónicos con sus vértices coincidentes con un subconjunto de los vértices del icosaedro?

Answer 1

No con vértices, no. Pero eso no significa que el icosaedro se quede fuera. La dualidad del poliedro nos dice que si hay una relación entre el cubo y el dodecaedro, entonces debería haber una relación dual entre el octaedro y el icosaedro. En particular, ya que

• el cubo se puede inscribir en el dodecaedro de modo que los vértices coincidan,

también debería ser cierto que

• el octaedro se puede circunscribir sobre el icosaedro de modo que las caras coincidan.

Este es de hecho el caso:

(fuente de imagen)

Un octaedro dado contiene dos icosaedros inscritos, y un icosaedro dado se encuentra en cinco octaedros circunscritos.

Answer 2

Para verificar que no 4 vértices del icosaedro formen un tetraedro regular combinatoriamente, tenga en cuenta que si toma 4 vértices de un icosaedro, al menos un par debe ser adyacente. Su distancia determinaría la longitud del borde del tetraedro, por lo que los 4 vértices tendrían que ser adyacentes, pero no hay 4 vértices adyacentes por pares en el icosaedro.

El tetraedro y el octaedro tampoco tienen poliedros regulares inscritos para compartir vértices. Entonces, no diría que el icosaedro es el extraño. Es en la mayoría.

Sería mejor preguntar qué explica las coincidencias de que un tetraedro se puede inscribir en un cubo o dodecaedro, y un cubo se puede inscribir en un icosaedro. Como explicación parcial, hay una operación “desaire” que puede aplicar a un poliedro que separa las caras, inserta una cara de poliedro doble en cada vértice y dos triángulos en cada borde. Aquí hay una estatua / fuente de cubo chato en Caltech que solía ver la mayoría de los días:

(Imagen de la ciudad de Pasadena)

Hay un poliedro desaireado para zurdos y diestros, dependiendo de si gira la parte superior de cada cara ligeramente hacia la izquierda o hacia la derecha. El snub-cube derecho es el snub-octahedron zurdo. ¿Qué es el tetraedro chato?

(Imagen de Wikipedia Icosahedron)

¡Es el icosaedro! El tetraedro es auto dual. Entonces, el tetraedro de desaire derecho es también el tetraedro de desaire zurdo. Es por eso que puedes elegir 4 caras rojas del icosaedro con simetría tetraédrica. Por el argumento de la dualidad que mencionó Anders Kaseorg, cuando tomas el dual obtienes tetraedros inscritos en el dual del icosaedro, un dodecaedro.

También hay relaciones adicionales entre un tetraedro y un cubo. Si estrellas un tetraedro agregando una pirámide triangular a cada cara, el resultado puede o no ser convexo. Si agrega una pirámide realmente corta, el resultado es convexo. Si agrega una pirámide alta a cada cara, el resultado no es convexo. Justo en el borde, las caras triangulares a través de un borde del tetraedro original se vuelven coplanarias y se fusionan para formar un rombo. Si haces esta operación en un cubo u octaedro, obtienes el dodecaedro rómbico. Si le haces esto a un tetraedro, obtienes un hexaedro rómbico, más comúnmente conocido como cubo. Nuevamente, parte de la simetría adicional se puede ver como un aspecto de la dualidad del tetraedro.

Answer 3

La alineación icosaedro-octaedro de Anders Kaseorg se utilizó como paso clave en una anidación de los cinco sólidos platónicos: tetraedro rojo – vértices coincidentes – cubo verde – vértices coincidentes – dodecaedro amarillo – dualidad – icosaedro azul / gris – caras coincidentes – marco octaédrico.

Answer 4

El icosaedro es especial entre los sólidos platónicos en una sola forma en la que puedo pensar en este momento.

El grupo de orientación que conserva las simetrías del icosaedro es A5, el grupo alterno en 5 letras.

A5 es un grupo simple no abeliano. De hecho, es el único grupo no abeliano simple de orden más pequeño, 60.