Si considera ángulos sólidos con orientaciones, entonces pueden ser positivos o negativos. Es lo mismo con los ángulos planos. 
El ángulo en la figura izquierda es la negación del ángulo a la derecha.
(El diagrama en realidad ilustra las reglas de la mano izquierda y derecha, pero también ilustra que el ángulo sólido en el vértice se puede interpretar como negativo o positivo según la orientación).
Editar: se ha agregado un detalle de la pregunta. “Aquí no se hace referencia al sentido vectorial de dirección u orientación con un marco de referencia”.
(No me estoy refiriendo a un marco de referencia aquí. Es solo que la figura también se puede usar para describir las reglas de la mano izquierda y derecha).
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Considere la situación bidimensional análoga.
En la primera figura, uno de los dos lados se toma como el primer lado. En el segundo, el otro se toma como el primer lado. (Resulta que no son del mismo tamaño, por lo que no son negaciones entre sí).
En el ángulo sólido anterior, se cambia el etiquetado de dos de los lados de los ángulos. Eso cambia la orientación del ángulo sólido.
En términos más generales, si tiene un ángulo n- dimensional y cambia el orden que usa para nombrar cualquiera de sus dos lados, eso niega su orientación.