Cómo mostrar matemáticamente que de todos los objetos tridimensionales con el mismo volumen, la esfera tiene la menor área de superficie

Answer 1

Mire primero la idea de esta desigualdad Desigualdad isoperimétrica. matemáticamente establece la prueba bastante bien.

• Pensando en el equivalente bidimensional, las esquinas afiladas básicamente desperdician el perímetro al tiempo que abarcan poca área adicional. A medida que aumenta el número de esquinas en una forma, termina formando más área para la misma entrada de perímetro. A medida que el número de lados de una forma se acerca a números cada vez más grandes, se redondea hasta el punto en que se puede pensar en un círculo como una forma con un número infinito de lados y esquinas. Lo mismo ocurre con las figuras tridimensionales que sustituyen el volumen por área. Esencialmente, las esquinas afiladas son un desperdicio, cuantas más esquinas tenga menos desperdicio son, por lo que si tiene un número infinito de esquinas, encerrará la mayor cantidad de volumen / área con un área de superficie / perímetro mínima.

PD: debes darle el crédito a Arthur McCclung. lo hizo primero

Answer 2

A2A: está buscando un caso especial de desigualdad isoperimétrica. Puedes probarlo de varias maneras. De la parte superior de google surgió esto: Dos lindas pruebas de la desigualdad isoperimétrica. Creo que también puedes usar multiplicadores de Lagrange sin esfuerzo para mostrar que una esfera es al menos un mínimo local.