Aquí está una de mis pruebas favoritas que he visto en mucho tiempo. (Ojalá pudiera decir que lo pensé, pero lo escuché de Vladislav Isenbaev).
Sea [math] X_1,…, X_n [/ math] una serie de [math] n [/ math] iid variables aleatorias extraídas de Unif (0,1). Deje [math] X = (X_1,…, X_n) \ in \ mathbb R ^ n [/ math]. Entonces [math] \ sum_ {i = 1} ^ n X_i \ leq 1 [/ math] iff [math] X [/ math] está en el [math] n [/ math] -dimensional simplex. Por simetría, [matemática] X [/ matemática] es una variable aleatoria distribuida uniformemente sobre el hipercubo de la unidad dimensional [matemática] n [/ matemática], que tiene el volumen 1. Entonces, el volumen de la [matemática] n [/ matemática] -simplex dimensional debe ser igual a la probabilidad de que [math] \ sum_ {i = 1} ^ n X_i \ leq 1 [/ math].
Sea [math] Y_k [/ math] la parte decimal de [math] \ sum_ {i = 1} ^ k X_i [/ math], es decir, [math] Y_k = \ sum_ {i = 1} ^ k X_i – \ lfloor \ sum_ {i = 1} ^ kX_i \ rfloor [/ math]. Como los [math] X_i [/ math] son iid y Unif (0,1), [math] Y_i [/ math] es Unif (0,1) para todos [math] i [/ math], independientemente de el valor de [math] Y_ {i-1}. [/ math]
(Si esto no está claro, piense en doblar el intervalo [0,1] en un círculo para que se conecten 0 y 1. Imagine un reloj donde la medianoche es 0, y a medida que avanza en sentido horario aumenta hasta llegar a 1, que también es medianoche. Si alguna [matemática] X_k [/ matemática] empuja [matemática] \ sum_ {i = 1} ^ {k-1} X_i [/ matemática] por encima de 1, el efecto en [matemática] Y_k [/ matemática] es restablecerlo a 0 y comenzar desde allí. Entonces, donde sea que [math] Y_ {k-1} [/ math] esté en el reloj, podemos encontrar [math] Y_k [/ math] moviendo [math] X_k [ / math] más en el sentido de las agujas del reloj, pero como [math] X_k [/ math] es Unif (0,1), la probabilidad de que aterricemos en cualquier punto del reloj es uniforme, independientemente de dónde empecemos.
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- ¿Existe alguna representación geométrica similar para la expansión de [math] (a + b) ^ 4 [/ math] también?
- El número máximo de regiones formadas por n líneas que se cruzan dentro de un círculo es [matemáticas] {{n} \ choose {2}} + {{n} \ choose {1}} + {{n} \ choose {0}} = {{n + 1} \ elegir {2}} +1 [/ matemáticas]. ¿Cuál es una explicación intuitiva para estas fórmulas que un niño de 12 años puede entender?
Por lo tanto, [math] (Y_1, …, Y_k) [/ math] también es uniformemente aleatorio en el hipercubo de unidad dimensional [math] n [/ math].
Aquí está la parte genial: [matemática] X_1 +… + X_n \ leq 1 [/ matemática] si la secuencia [matemática] Y_1,…, Y_n [/ matemática] está aumentando. La dirección if proviene del hecho de que si [math] X_1 +… + X_n \ leq 1 [/ math] las [math] Y_i [/ math] nunca pasan de 1 y se restablecen. La única dirección si proviene del hecho de que si la suma parcial supera 1 en alguna [matemática] i [/ matemática], [matemática] Y_ {i + 1} <Y_i [/ matemática] desde [matemática] X_ {i + 1} <1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, la única forma en que los [math] Y_i [/ math] pueden aumentar es si la suma parcial de [math] X_i [/ math] no supera 1.
¿Cuál es la probabilidad de que un punto aleatorio dibujado uniformemente del hipercubo de la unidad tenga sus coordenadas en orden ascendente ordenado? Por simetría, dibujar un punto aleatorio de la unidad de hipercubo es equivalente a dibujar números aleatorios [matemáticos] n [/ matemáticos] uniformemente desde [0,1] y luego organizarlos en un orden aleatorio uniforme. Si hiciéramos eso, ¿cuál es la probabilidad de que se ordenen en orden ascendente? Por supuesto, es casi seguro (en el sentido teórico de la medida) que todos los números son únicos, por lo que hay arreglos [math] n! [/ Math], de los cuales solo 1 es el orden ascendente correcto. Entonces [matemáticas] \ frac {1} {n!} = P (Y_1 <Y_2 <… <Y_n) = P (\ sum_ {i = 1} ^ nX_i \ leq 1) [/ matemáticas] que, como establecimos anteriormente , es el volumen del [math] n [/ math] -dimensional simplex.