TL; DR: Las órbitas generalmente tienen forma de espiral. Cuando son elipses, es porque algo es especial y esa propiedad especial es la “simetría”.
Las órbitas elípticas existen para un tipo de potencial muy especial, los potenciales de la Ley del cuadrado inverso. Esta ley del cuadrado inverso es lo que Newton propuso para su Ley de Gravitación del Universo y fue precisamente porque esta forma de la ley de fuerza dio lugar a órbitas robustamente elípticas (y la fuerza se debilita a largas distancias), que es la primera ley de Kepler.
Cada vez que modifica el potencial, normalmente obtiene órbitas que son vagamente elípticas pero no cierran cada órbita, esto es precisamente lo que es una espiral. Por ejemplo, si la gravedad hubiera sido una ley de cubos inversa, las órbitas se verían algo así (por lo general, no son tan bonitas) 
que es una espiral de Poinsot y en algunos casos incluso puedes obtener la espiral prototípica 
Lo más importante, cuando suplantas la ley de gravedad de Newton con la Relatividad General de Einstein, descubres que las órbitas no son elipses perfectas, sino que preceden las elipses. Es por eso que Einstein usó la precesión del perihelio de Mercurio para probar la Relatividad General.
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Ahora, ¿por qué puedes preguntar “por qué las órbitas son elipses para las fuerzas de la ley del cuadrado inverso?” Esta es una pregunta más difícil de responder: responder preguntas de “por qué” en física es notoriamente difícil porque hay que identificar las lecciones generalizables del caso específico. Decir que las ecuaciones simplemente funcionaron de esa manera no es muy satisfactorio y evade la pregunta de una manera esencial. En cambio, cuando preguntas “por qué” en física, no puedes confiar en la solución, sino en el mecanismo o principio que creó la solución. La mayoría de las veces, estas preguntas no tienen respuestas a por qué, en este caso hay una (al menos en mi opinión), pero es un poco difícil.
La respuesta se reduce a lo que los físicos siempre se enfocan
- Simetría
Hay una regla general, cuando algo es muy simple y no debería serlo, hay una simetría involucrada de alguna manera, algo así como el gato de Cheshire.
En el caso de las fuerzas de la ley del cuadrado inverso, existe una simetría especial de la que la gente generalmente no habla hasta que se gradúa la mecánica clásica o la mecánica celeste. Cada simetría da lugar a una cantidad conservada , que son cantidades que no cambian en función del tiempo. Esta simetría ni siquiera tiene un nombre propio (que no sea técnico – SO (4)).
Dado que todos los potenciales centrales conservan el momento angular y la energía (la conservación del momento angular es lo mismo que la conservación de la velocidad de área), y no todos los potenciales centrales tienen órbitas elípticas, por lo tanto, la conservación del momento angular no es lo que garantiza que las órbitas sean simples elipses.
La ley de conservación que existe únicamente para los potenciales de la ley del cuadrado inverso es la conservación del vector Runge-Lenz (o excentricidad). De hecho, esto no se descubrió hasta principios del siglo XIX y, en general, no se enseña en mecánica de pregrado, aunque es la propiedad la que hace que los niveles de energía del átomo de hidrógeno sean solubles.
El vector Runge-Lenz es
[matemáticas] \ vec {A} = \ vec {p} \ veces \ vec {L} – mk \ frac {\ vec {r}} {r} [/ matemáticas]
Sí, esto es muy bonito e intuitivo (sí, estoy bromeando). Hay muchas matemáticas que puedes hacer con esto, pero lo importante es que este vector no cambia a medida que los planetas atraviesan sus órbitas.
La forma más fácil de ver que esto es lo que da lugar a la órbita elíptica es tomar el producto puntual con el vector radial.
[matemáticas] \ vec {A} \ cdot \ vec {r} \ equiv A r \ cos \ theta = \ vec {r} \ cdot \ left (\ vec {p} \ times \ vec {L} – mk \ frac {\ vec {r}} {r} \ right) [/ math]
y después de alguna manipulación rápidamente llegas a
[matemáticas] \ frac {1} {r} = \ frac {mk} {L ^ 2} \ left (1+ \ frac {A} {mk} \ cos \ theta \ right) [/ math]
que te da la ecuación para una elipse en coordenadas polares
[matemáticas] r = \ frac {a} {1 + e \ cos \ theta} [/ matemáticas]
dónde
[matemáticas] a = \ frac {L ^ 2} {mk} \ qquad e = \ frac {A} {mk} [/ matemáticas]
son el eje semi-mayor y la excentricidad.
Ahora, esto no explica realmente por qué las fuerzas de la ley del cuadrado inverso producen secciones cónicas como sus órbitas, solo explica que será una curva paramétrica simple en coordenadas polares en lugar de alguna función elíptica desagradable o incluso no se puede resolver con funciones especiales estándar ( cual es el caso típico).
Ignorando los detalles, puede ver que esta cantidad conservada está íntimamente relacionada con las órbitas elípticas. En mi opinión, esta es la lección que es generalizable (y de ahí la respuesta a la pregunta de “por qué”):
- Busque cantidades conservadas y, si existen, le permitirán resolver el problema.
Si no existen, entonces lo más probable es que use funciones especiales (si tiene suerte) o dependerá de soluciones numéricas.
