Espero que lo que sigue justifique volver a la vida a una pregunta de más de 3 años: abordo el tema planteado por el Sr. Joyce y presento dos pruebas más libres de cálculo: una es aritmética, basada principalmente en la manipulación simbólica en bruto, y el otro es más geométrico en espíritu.
Caso general : si un rectángulo se coloca de alguna manera dentro del triángulo dado de tal manera que los dos no comparten un lado común, entonces extendemos cualquiera de los dos lados opuestos (y paralelos) del rectángulo y solo hay dos casos a considerar:
- cuando estas dos líneas paralelas rectas se cruzan solo a dos lados del triángulo principal (figura izquierda a continuación):
en cuyo caso reducimos el problema al caso cubierto por el Sr. Joyce
- cuando los paralelos se cruzan con los tres lados del triángulo padre (figura derecha arriba)
en cuyo caso, construya una línea recta (que se muestra en rojo) a través del vértice atrapado paralelo a los paralelos y nuevamente, reduzca el problema al caso demostrado por el Sr. Joyce.
Prueba 2 sin cálculo : como demostró el Sr. Joyce, es suficiente considerar solo un triángulo rectángulo, tomemos el izquierdo del dibujo del Sr. Joyce y, por brevedad, use la siguiente notación:
[matemáticas] | CA | = c, \; | CD | = b, \; | DA | = a \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] x = | EF | = | DH |, \; y = | ED | = | FH |, \; z = | CF | \ tag * {} [/ math]
donde [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] son los lados de algún rectángulo arbitrario, no necesariamente el óptimo:
Idea: exprese el área cuadrada del rectángulo, asígnele el nombre [math] A [/ math], en términos del área cuadrada del triángulo padre [math] M [/ math] y la razón [math] c \ div z [ / math], que llamaremos [math] r [/ math]. Resuelva la ecuación cuadrática para [math] r [/ math] y, dado que [math] r [/ math] debe ser Real, es decir, no Complejo, deduzca la relación necesaria del requisito de que el discriminante no debe ser negativo (un estándar relativamente método para resolver problemas de optimización en matemáticas (y física) sin cálculo):
Explote la similitud de la derecha por construcción, resaltada en gris, triángulo [matemática] FEC [/ matemática] con el triángulo padre [matemática] ADC [/ matemática] dos veces:
- para el lado [matemáticas] x [/ matemáticas]:
[matemáticas] \ dfrac {x} {a} = \ dfrac {z} {c} \ tag * {} [/ matemáticas]
de donde:
[matemáticas] x = \ dfrac {az} {c} \ tag * {} [/ matemáticas]
- para el lado [matemáticas] b – y [/ matemáticas]:
[matemáticas] \ dfrac {b – y} {b} = \ dfrac {z} {c} \ tag * {} [/ matemáticas]
de donde:
[matemáticas] y = \ dfrac {b} {c} (c – z) \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
Ahora construya el área cuadrada de un rectángulo arbitrario, [matemática] A = x \ cdot y [/ matemática], como:
[matemáticas] A = xy = \ dfrac {az} {c} \ cdot \ dfrac {b} {c} \ cdot (c – z) = \ tag * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] ab \ cdot \ dfrac {z} {c ^ 2} \ cdot (c – z) = ab \ dfrac {z} {c} \ Big (1 – \ dfrac {z} {c} \ Big) \ etiqueta * {} [/ math]
y usando nuestro nombre [math] r [/ math] para la razón [math] z \ div c [/ math], obtenemos:
[matemáticas] A = 2 \ cdot \ dfrac {ab} {2} r (1-r) = 2Mr (1 – r) \ tag * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] A = 2Mr – 2Mr ^ 2 \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] 2Mr ^ 2 – 2Mr + A = 0 \ tag * {} [/ math]
Resuelva la cuadrática anterior para [math] r [/ math]:
[matemáticas] r_ {1,2} = \ dfrac {2M \ pm \ sqrt {4M ^ 2 – 8MA}} {4M} \ tag * {} [/ matemáticas]
El discriminante anterior no debe ser negativo:
[matemática] 4M ^ 2 – 8MA \ geqslant 0 \ tag * {} [/ matemática]
[matemáticas] 4M ^ 2 \ geqslant 8MA \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] M \ geqslant 2A \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
que es lo que se requería para encontrar / probar: el área cuadrada de un rectángulo dentro de un triángulo está limitada desde arriba de la siguiente manera:
[matemáticas] A \ leqslant \ dfrac {M} {2} \ tag * {} [/ matemáticas]
Observe que, como de costumbre, la manipulación simbólica en bruto no produce una receta de construcción concreta.
Prueba 3 sin cálculo : esta es de espíritu más geométrico y se basa en el arte de resolver ideas de equivalencia y transformación o reordenamiento.
Como señaló Sherlock Holmes: elimine todo el tren de pensamiento, presente solo el resultado y se verá como magia o milagro. Así que aquí está mi línea de pensamiento en su totalidad.
Dado que cualquier triángulo (plano) puede estar compuesto por dos triángulos rectángulos, considere solo uno y asígnele el nombre de triángulo principal .
Solo hay dos orientaciones sensatas del rectángulo buscado: a lo largo de los lados o a lo largo de la hipotenusa del triángulo padre.
Si el rectángulo objetivo se posiciona a lo largo de la hipotenusa, entonces el triángulo principal se puede cortar en dos con una línea recta a través del vértice [matemático] 90 ^ {\ circ} [/ matemático] perpendicular a la hipotenusa y estamos de vuelta a lo largo- Orientación lateral.
Ahora colocamos el rectángulo en el vértice [matemático] 90 ^ {\ circ} [/ matemático] del triángulo y dejamos que [matemático] x [/ matemático] sea el ancho del rectángulo y [matemático] y [/ matemático] – su altura:
Si variamos [matemática] x [/ matemática] moviendo el punto [matemática] X [/ matemática] hacia adelante y hacia atrás, entonces [matemática] y [/ matemática] variará y viceversa. Por lo tanto, necesitamos optimizar la magnitud de dos variables de tal manera que su producto sea máximo.
Idea: ¿es posible reducir el número de magnitudes variables de dos a solo uno?
Hm, aaaaaa sí.
¿Cómo?
Inversión: con respecto a un círculo (y simplemente inversión a partir de ahora).
¿Eh?
La principal fórmula de inversión del caballo de batalla es:
[matemáticas] | OP | \ cdot | OP ‘| = r ^ 2 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
donde [matemática] O [/ matemática] es el centro de inversión, [matemática] P [/ matemática] y [matemática] P ‘[/ matemática] son imágenes inversas, colineales con [matemática] O [/ matemática] el uno del otro y [math] r [/ math] es el radio de inversión.
… aaaand?
Si podemos forzar la fórmula anterior para ser:
[matemáticas] x \ cdot y = r ^ 2 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
entonces tal vez hay esperanza?
¡Pero [math] x [/ math] y [math] y [/ math] son perpendiculares!
Hazlos no perpendiculares.
¿Cómo?
Gire [math] Y [/ math] en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor de [math] C [/ math] hasta que caiga en [math] CB [/ math] extendido como [math] Y ‘[/ math]:
Ahora exija que [matemática] Y ‘[/ matemática] y [matemática] X [/ matemática] sean las imágenes inversas entre sí y [matemática] C [/ matemática] sea el centro de inversión con potencia negativa ya que [matemática] C [/ math] está entre (en el sentido de axiomas de intermediación de Hilbert) [math] Y ‘[/ math] y [math] X [/ math].
Entonces el área cuadrada del rectángulo objetivo es máxima cuando [math] r [/ math] es máxima.
Recuperar [matemática] r [/ matemática] es un ejercicio de rutina: trabajar hacia atrás desde la definición de inversión: bisecar el segmento de línea [matemática] Y’X [/ matemática] con [matemática] b [/ matemática] para localizar [matemática] O [/ math], construya un círculo [math] s [/ math] con el centro en [math] O [/ math] y el radio [math] | OY ‘| = | OX | [/ math], dibuja una perpendicular a [math] Y’X [/ math] hasta [math] C [/ math] hasta que se cruza con la circunferencia de [math] s [/ math] en [math] R [/ matemáticas] y [matemáticas] | CR | = r [/ math] (y en este caso la perpendicular a [math] C [/ math] es, convenientemente, el lado [math] AC [/ math]):
Ahora varíe [math] r [/ math], solo una magnitud. ¿Cuándo alcanza su máximo?
Bueno, porque lo sabemos y lo recordamos, la última construcción se ve muy similar a la que Euclides lleva a cabo en B2P11 (para cortar una línea recta dada de modo que el rectángulo contenido por el todo y uno de los segmentos sea igual al cuadrado del resto) segmento).
El momento aha: el triángulo padre [matemáticas] ABC [/ matemáticas] es en realidad la mitad de su rectángulo:
que tiene su equivalente (por área cuadrada) cuadrado (construido a través de B2P11 ):
la mitad de los cuales, por área cuadrada, es equivalente a nuestro triángulo padre [matemáticas] ABC [/ matemáticas]:
Esa mitad, resaltada en rojo, es un triángulo isósceles recto. Se puede inscribir un cuadrado en dicho (o cualquier) triángulo por homotetería: construya un cuadrado arbitrario en el vértice apropiado, más grande o más pequeño, y luego reduzca o crezca diagonalmente hasta que el vértice de flotación libre [matemática] F [/ matemática] aterrice en la hipotenusa / diagonal:
Como ejercicio, vea si puede probar (sin cálculo) que para este triángulo en particular así inscrito, es un cuadrado que tiene el área máxima. Sugerencia: ¿qué se puede decir, geométricamente, sobre el perímetro del candidato o, algebraicamente, sobre la suma de dos magnitudes?
Finalmente, afirmamos que bajo afinidad, una transformación continua de cuerpo rígido, el cuadrado de arriba, que es por área es la mitad del triángulo en el que está inscrito, es la imagen del rectángulo buscado bajo la transformación de estilo B2P11 y viceversa :
Para localizar [matemáticas] Y [/ matemáticas] usamos B6P12, para encontrar una cuarta proporción a tres líneas rectas dadas:
[matemáticas] \ dfrac {| CD ‘|} {| CD |} = \ dfrac {1} {2} = \ dfrac {| CY |} {| CA |} \ tag * {} [/ matemáticas]
¿Y qué hay de la inversión? En general, resultó ser un arenque rojo.
Por último, si observamos nuestra idea anterior de colocar el rectángulo máximo a lo largo de la hipotenusa, vemos que no es congruente con el rectángulo colocado a lo largo de los lados del triángulo, sino que está compuesto por las mismas piezas atómicas, solo orientadas de manera diferente:
Pensamientos posteriores. El tema real realmente no importa: podría ser un problema en análisis reales o complejos, combinatoria o probabilidad, álgebra lineal o topología diferencial, elija su favorito. Cuando miramos hacia atrás en nuestro camino de solución, a veces, no podemos evitar preguntarnos: por qué o por qué mi camino fue tan complicado, enredado y no eficiente. ¿Cómo es que no me acerqué de inmediato a una solución simple, clara, obvia y elemental?
