Se eligen tres puntos de manera uniforme al azar desde el perímetro del círculo. La probabilidad de que el triángulo formado por estos sea agudo se puede expresar como a / b donde a y b son enteros coprimos positivos. ¿Cuál es el valor de a + b?

Answer 1

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Triangle inscrit dans un cercle.

Tomamos un punto A al azar en un círculo (O, r = 1)
A ‘es la simétrica de A con respecto a O.

Luego, tomamos un punto aleatorio B del círculo.
B ‘es la simétrica de B en relación con O.

Tomamos un punto aleatorio C en el círculo.
Si C pertenece al arco] A ‘, B’ [=> triángulo
ABC es agudo.

Si B está en el cuadrante # 4:
[matemáticas] Prob (triángulo ABC agudo) = \ dfrac {\ alpha} {2 \ pi} = \ dfrac {\ frac {\ pi} {2} – \ beta} {2 \ pi} [/ math]

si B en el cuadrante # 1:
[matemáticas] Prob (triángulo ABC agudo) = \ dfrac {\ alpha} {2 \ pi} = \ dfrac {\ frac {\ pi} {2} + \ beta} {2 \ pi} [/ math]

Como probabilidad (dibujar aleatoriamente B en # 1) = probabilidad (B dibujar aleatoriamente B en # 4)

Probabilidad (ABC aguda) = alfa / 2 pi = (pi / 2) / 2 pi
probabilidad (ABC aguda) = 1/4.
1 y 4 son coprimos.
Si ponemos a = 1 yb = 4,
la respuesta es: suma a + b = 5

Answer 2

Asumiré que los puntos se eligen de forma independiente y tomaré “uniformemente” para significar que la distribución de probabilidad de cada punto a lo largo del círculo es rotatoriamente invariante. [En realidad, esto es más fuerte de lo necesario para resolver este problema; Como veremos en un segundo, todo lo que realmente necesitamos además de la independencia es que A) cada punto tiene probabilidad 0 de aterrizar exactamente en cualquier lugar en particular, y B) la distribución de cada punto es invariante bajo una rotación de 180 grados. Pero ambos ciertamente se desprenden de la uniformidad.]

Dado un punto X en un círculo, usaré X ‘para referirme al punto diametralmente opuesto a X.

Si X, Y y Z son tres puntos en un círculo, tenga en cuenta que XYZ es agudo si y solo si X’YZ es obtuso en X ‘. Además, si XYZ es agudo, entonces también lo es X’Y’Z ‘(siendo simplemente XYZ girado 180 grados).

De ello se deduce que XYZ, X’YZ, XY’Z y XYZ ‘, precisamente uno es un triángulo agudo, uno es obtuso en el primer punto, uno es obtuso en el segundo punto y uno es obtuso en el tercer punto [ excepto en el caso degenerado donde algunos de estos triángulos tienen algunos de sus puntos coincidentes].

Si X, Y y Z aquí son nuestros puntos elegidos al azar, entonces, según nuestra condición B) anterior, estos cuatro triángulos tienen la misma distribución [y según nuestra condición A) anterior, la probabilidad de degeneración es 0]; en consecuencia, la probabilidad de un triángulo agudo es 1/4.

Answer 3

elija el primero en cualquier lugar de la circunferencia, para el segundo: selecciónelo en algún ángulo, diga [math] \ theta [/ math] ángulo desde el primero, donde [math] \ theta [/ math] podría variar de 0 a [matemáticas] \ pi [/ matemáticas], que se haría con probabilidad [matemáticas] \ frac {d \ theta} \ pi [/ matemáticas]
El tercero tiene que estar en un lugar tal que estos tres puntos no puedan incluirse en un semicírculo, así es como se va a satisfacer la condición del triángulo de ángulo agudo. (si dos puntos están en diagonal, entonces el ángulo formado con el tercer punto es siempre un ángulo recto según el teorema de Thales, tres puntos dentro de un semicírculo => agudo, de lo contrario obtuso)
La región donde se podría elegir este tercer punto de modo que satisfaga la condición anterior abarca [matemáticas] \ theta [/ matemáticas] del total de [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas] (tiene que dibujar un diagrama usted mismo por ahora ), por lo que podría hacerse con probabilidad [math] \ theta / 2 \ pi [/ math]

integre la probabilidad combinada [matemática] \ theta / 2 \ pi * \ frac {d \ theta} \ pi [/ matemática] de 0 a [matemática] \ pi [/ matemática] y obtenga 1/4

Answer 4

La distancia mínima [matemática] x [/ matemática] entre los dos primeros puntos se distribuye uniformemente sobre [matemática] (0, \ pi) [/ matemática].
El otro punto debe estar exactamente en el segmento opuesto al que abarcan los dos primeros puntos, en los que la probabilidad es [matemática] \ frac {x} {2 \ pi} [/ matemática].
La probabilidad promedio es así:
[matemática] P (aguda) = \ frac {1} {\ pi} \ int_0 ^ {\ pi} \ frac {x} {2 \ pi} dx = \ frac {1} {4} [/ matemática]

Answer 5

Vea ¿Cuál será la probabilidad de formar un triángulo rectángulo si se eligen tres puntos al azar en la periferia de un círculo?
La probabilidad es 1/4. 1 + 4 = 5.