Editar:
Parece que entendí cómo se puede medir el ancho y mi enfoque de medir desde el centro geométrico estaba completamente equivocado. ¡Gracias Lewis Morgan por señalar eso! Eso hace que mi respuesta anterior sea irrelevante.
Cada “polígono” de ancho constante, o más generalmente, una curva de ancho constante es, “una curva de ancho constante es una forma plana convexa cuyo ancho (definido como la distancia perpendicular entre dos líneas paralelas distintas que tienen al menos un punto en común con el límite de la forma pero ninguno con el interior de la forma) es el mismo independientemente de la orientación de la curva “. (Mira el comentario de Lewis). Los límites que definen esta curva se pueden definir mediante un conjunto de puntos llamado conjunto de pellizcos.
Se puede demostrar que el número de puntos en este conjunto de pellizcos siempre debe ser impar. Por lo tanto, no sería posible hacer una moneda poligonal con un ancho constante.
(Agregaré más a esto cuando tenga tiempo. Por favor, siéntase libre de corregir esto, ¡no es la primera vez que me equivoco!)
La respuesta incorrecta:
Estoy seguro de que hay algunas pruebas matemáticas que pueden responder a su pregunta de manera más elegante, pero esta es una forma más simple de entenderlo.
Para comenzar, un polígono generalmente se describe usando dos parámetros
- ¿Hay una manera intuitiva de entender qué es un “punto” en geometría?
- ¿Dónde se inventó la geometría?
- ¿Por qué las órbitas no tienen forma de espiral?
- Cómo mostrar matemáticamente que de todos los objetos tridimensionales con el mismo volumen, la esfera tiene la menor área de superficie
- ¿Existe un argumento intuitivo que dé el volumen del símplex con un vértice en el origen y los vértices restantes, cada uno con una coordenada 1 y las coordenadas restantes 0 (en k-dimensiones)? ¡La respuesta es 1 / k!
- El número de lados.
- El diámetro (o radio) del círculo inscrito.
O
El diámetro (o radio) del círculo circunscrito. 
Ahora el círculo inscrito y el círculo circunscrito no son completamente independientes, pero nunca hay el mismo (diámetro). Lo que significa que el diámetro del círculo inscrito y del círculo circunscrito se acercará solo cuando el número de lados del polígono tiende al infinito, lo que en realidad es un círculo.
De esto se desprende que nunca se puede tener un polígono de amplitud constante. Independientemente de si es un número par o impar de lados. Si tuvieras que curvar los lados, nunca obtendrías una forma de igual amplitud, a menos que el centro del arco fuera el centro del polígono, haciendo que esos arcos formen parte del círculo circunscrito.
Aquí hay un polígono de 7 lados (radio circular inscrito de 50), que tiene arcos con centros en las esquinas opuestas: 
Los arcos tienen un radio de 54.10 y todas las demás mediciones arbitrarias a través del centro serán menores o iguales a ese valor. Por lo tanto, no es una forma de igual amplitud.
Mientras estamos en eso, aquí hay un polígono de 12 lados (radio circular inscrito de 50), que tiene arcos con centros en el punto medio del lado opuesto : 
En este caso, la esquina de la medición será 51.76, y todas las demás mediciones a través del centro serán menos que eso.
La Royal Mint no afirma que las nuevas monedas sean de igual amplitud. Todos han dicho que la moneda “estará diseñada expresamente para adaptarse a los mecanismos existentes” (Nueva moneda de £ 1 para frenar las falsificaciones).
Para concluir, solo un polígono con un número infinito de lados puede tener una amplitud constante. ¡Espero que eso ponga fin a ese debate en Twitter!