Cada diagonal diagonal suma a un número de la forma [math] \ tfrac {1} {n}, \ n \ in \ mathbb {N}. [/matemáticas]
Sea [math] L (r, c) [/ math] el número de Leibniz en la fila [math] r [/ math] y la columna [math] c [/ math] definidas recursivamente
[matemáticas] | L (r-1, c-1) -L (r, c-1) |. [/ math] Las diagonales externas en el triángulo armónico de Leibniz consisten en los números: [math] \ {L (r, 1) \} _ {r \ ge1} = 1, \ tfrac {1} {2}, \ tfrac {1} {3}, \ tfrac {1} {4}, \ ldots [/ math]
Es bien sabido que las sumas parciales se llaman números armónicos:
[matemáticas] H_n = \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {1} {k}, [/ matemáticas]
que diverge Si considera la diagonal a continuación, [matemáticas] \ {L (r, 2) \} _ {r \ ge1} = \ tfrac {1} {2}, \ tfrac {1} {6}, \ tfrac {1} {12}, \ ldots [/ math]
las sumas parciales convergen a una aplicando la definición,
[matemáticas] \ sum_ {r = 1} ^ n L (r, 2) = 1- \ tfrac {1} {2} + \ tfrac {1} {2} – \ tfrac {1} {3} + \ ldots + \ tfrac {1} {n-1} – \ tfrac {1} {n}, [/ math]
que se simplifica a [matemáticas] 1- \ tfrac {1} {n}, [/ matemáticas] y esto converge a uno.
Mediante la construcción de la siguiente diagonal [math] \ {L (r, 3) \} _ {r \ ge1} [/ math], las sumas parciales también convergen, pero esta vez a [math] \ tfrac {1} {2 }. [/ math] Esto no es una prueba, pero se deduce de la definición que la serie que consiste en la diagonal [math] c ^ {th} [/ math] satisface
[matemáticas] \ sum_ {r = 1} ^ \ infty L (r, c) = \ tfrac {1} {c-1}, \ \ forall c \ ge 2. [/ math]
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