Cualquiera que haya tomado un curso introductorio de estadísticas podría informarle sobre la distribución normal, que se parece a esto:
Lo que puede o no haber aprendido es que la curva normal es en realidad una curva gaussiana de la forma [matemática] f (x) = e ^ {-x ^ 2} [/ matemática], y eso, para comprender el curva, necesitamos usar el sistema de coordenadas polares.
Para derivar la distribución normal de este gaussiano, necesitamos, bueno, normalizar la curva. Esto significa que debemos asegurarnos de que el área total bajo la curva gaussiana sea 1, porque la probabilidad total de medir cualquier el valor debe ser 1. Eso significa que necesitamos encontrar el área total debajo de [matemáticas] f (x) = e ^ {-x ^ 2} [/ matemáticas]: en otras palabras, tenemos que integrar la curva y resolver
[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ \ infty e ^ {-x ^ 2} \, dx [/ math].
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¡Sin embargo, hay una trampa! ¡Las integrales gaussianas no tienen antiderivadas en términos de funciones elementales! Sin embargo, para encontrar el área bajo la curva normal, necesitamos integrar la curva de alguna manera. Lo hacemos usando coordenadas polares.
Primero, decidimos que resolver [math] \ int _ {- \ infty} ^ \ infty e ^ {-x ^ 2} \, dx [/ math] es para débiles, y en su lugar resolvemos para
[matemáticas]
\ left [\ int _ {- \ infty} ^ \ infty e ^ {-x ^ 2} \, dx \ right] ^ 2
[/matemáticas]
[matemáticas]
= \ left [\ int _ {- \ infty} ^ \ infty e ^ {-x ^ 2} \, dx \ right] \ left [\ int _ {- \ infty} ^ \ infty e ^ {-x ^ 2} \ , dx \ right]
[/matemáticas]
[matemáticas]
= \ left [\ int _ {- \ infty} ^ \ infty e ^ {-x ^ 2} \, dx \ right] \ left [\ int _ {- \ infty} ^ \ infty e ^ {-y ^ 2} \ , dy \ right]
[/matemáticas]
[matemáticas]
= \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ int _ {- \ infty} ^ \ infty e ^ {-x ^ 2} e ^ {-y ^ 2} \, dx dy
[/matemáticas]
[matemáticas]
= \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ int _ {- \ infty} ^ \ infty e ^ {- (x ^ 2 + y ^ 2)} \, dx dy
[/matemáticas]
En este punto, notamos que podemos hacer una fácil transformación a coordenadas polares a través de [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2, dx dy = r dr d \ theta [/ matemática], y cambiando los límites de integración. Obtenemos lo siguiente, que puede integrarse debido al nuevo término [math] r [/ math], que proviene del nuevo sistema de coordenadas polares.
[matemáticas]
\ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ int_ {0} ^ \ infty e ^ {-r ^ 2} r dr d \ theta
[/matemáticas]
[matemáticas]
= \ int_ {0} ^ {2 \ pi} d \ theta \ int_ {0} ^ \ infty re ^ {-r ^ 2} dr
[/matemáticas]
[matemáticas]
= \ left [\ theta \ right] _0 ^ {2 \ pi} \ left [- \ frac {1} {2} e ^ {- r ^ 2} \ right] _0 ^ \ infty
[/matemáticas]
[matemáticas]
= (2 \ pi) \ left (- \ frac {1} {2 e ^ {\ infty}} + \ frac {1} {2} \ right)
= \ pi
[/matemáticas]
Recuerde que resolvimos para [matemáticas] \ left [\ int _ {- \ infty} ^ \ infty e ^ {-x ^ 2} \, dx \ right] ^ 2 [/ matemáticas], no [matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ \ infty e ^ {-x ^ 2} \, dx [/ math], sin embargo.
Por lo tanto, nuestra respuesta es [matemáticas] \ sqrt {\ pi} [/ matemáticas]. Usando coordenadas polares y algunos cálculos multivariables, integramos [math] f (x) = e ^ {-x ^ 2} [/ math] sin integrarlo!
Por lo tanto, nuestra curva normalizada es [matemática] N (x) = \ frac {1} {\ sqrt {\ pi}} e ^ {-x ^ 2} [/ matemática].
Aunque la versión final de la curva normal tiene otro factor de [matemáticas] \ frac {1} {\ sigma \ sqrt {2}} [/ matemáticas] (para tener en cuenta los cambios en la desviación estándar), el principio es el mismo : el área total debajo de la curva se calculó mediante el método de transformación de coordenadas polares que acabo de esbozar, y la distribución se dividió entre esa área total para que el área de la nueva curva sea 1. Aquí está la versión final:
[matemáticas] N (x) = \ frac {1} {\ sigma \ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {2 \ sigma ^ 2}} [/ matemáticas]