Dado un número finito de puntos en el plano, no todos colineales, ¿cómo puedo probar que hay una línea recta que pasa exactamente por dos de ellos?

Answer 1

Hay una solución bastante ingeniosa, aunque probablemente sea difícil de encontrar si no la has visto antes. Por cierto, esto se conoce como el teorema de Sylvester-Gallai. Aquí está la solución:

Considere todos los tripletes no colineales de puntos (A, B, C) entre los puntos dados. Dibuje la línea desde A perpendicular a BC en el pie A ‘, y mida esa distancia AA’. Ahora elija el triplete entre estos tripletes de modo que esta distancia AA ‘sea mínima. Afirmo que los puntos B y C se encuentran en una línea por sí mismos.

Para mostrar esto, usaremos una prueba por contradicción. Supongamos que hay tres puntos en esa línea, digamos B, C y D (en ese orden).

Dibuje la perpendicular de CC ‘a AB o AD. (En esta imagen de arriba, el triángulo es agudo, por lo que no importa cuál, si fuera obtuso, tendría que haber elegido el lado tal que C ‘esté por encima de la línea BD). Pero CC’ es más corto que AA ‘, contradiciendo nuestro reclamo anterior! Podríamos haber elegido el triplete (C, A, D) en lugar de (A, B, C).

Answer 2

Estaba pensando en esto bastante brevemente. No soy un experto en matemáticas de todos modos, por lo que mi prueba puede no ser correcta o rigurosa (¡o ambas cosas!).

Imagina que lo hicimos por inducción.

n = 2 puntos (caso base). Claramente hay una línea que pasa exactamente por dos de ellos.

n = 3 puntos, no todos colineales. Claramente, hay una línea que pasa exactamente por dos de ellas (y hay 3 líneas posibles, piense en un triángulo).

…

Suponga que funciona para n = k , esto significa que hay dos puntos por los cuales una línea pasa exactamente por dos de estos puntos. Agrego otro punto, n = k + 1 , no colineal a estos dos puntos. Esto introduce al menos 3 líneas nuevas que puedo verificar. Puede imaginar que, a menos que este nuevo punto se encuentre en la línea que utilicé para el caso n = k , esta misma línea funciona para el caso n = k + 1 .

Answer 3

Aquí está la pregunta tal como la estoy viendo:

Dado un número finito de puntos en el plano, no todos colineales, ¿demuestra que hay una línea recta que pasa exactamente por dos de ellos?

Supongamos que hay tres puntos en A, tres puntos en B y tres puntos en C. A, B y C no están en la misma línea. Cualquier línea que pase por cualquiera de estos puntos pasa por al menos tres puntos. No hay línea que pase exactamente por dos puntos. Me parece que necesita otra suposición para incluir en la declaración del problema.