Mousepad hiperbólico de los anillos ligados
Comience con el plano hiperbólico ordinario. Conoces el disco Poincaré y los modelos de medio avión. Son agradables por un par de razones. Primero, una línea en el plano hiperbólico se representa como un círculo o una línea recta. En segundo lugar, un ángulo entre líneas en el plano hiperbólico está representado por el mismo ángulo entre las dos curvas que representan.
Son especialmente buenos ejemplos de modelos conformes. En un modelo conforme, las líneas hiperbólicas no tienen que estar representadas por círculos y líneas, sino que podrían estar representadas por otras curvas, pero aún así disfrutarán de la segunda condición mencionada anteriormente sobre los ángulos. No satisfarán exactamente lo primero, pero los círculos pequeños estarán representados aproximadamente por círculos.
El teorema de mapeo de Riemann dice que cualquier subconjunto abierto apropiado no vacío del plano complejo es biholomorfo al disco de la unidad abierta. Biholomorphic significa que hay una biyección diferencial entre ellos. Tales cosas son isomorfismos conformales que preservan la orientación, y eso significa que conserva las dos propiedades mencionadas en el párrafo anterior.
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Por lo tanto, puede modelar el plano hiperbólico en cualquier subconjunto simplemente conectado del plano complejo. El interior de un cuadrado, por ejemplo, o el espacio entre dos líneas paralelas.
De la receta de mapeo conforme de disco hiperbólico de Poincaré
Aquí está el plano hiperbólico que se muestra como una cruz infinita.
De modelos conformales de geometría hiperbólica
Douady y Hubbard construyeron un isomorfismo conforme del complemento del conjunto de Mandelbrot (con un punto añadido al infinito) al complemento del disco de la unidad, por lo que incluso podría usarlo para modelar el plano hiperbólico. (No se pudo encontrar una imagen de eso).