Los invariantes de Dehn se relacionan con el concepto de volumen. Dehh respondió una pregunta sobre la determinación de volúmenes mediante métodos de cortar y pegar.
Un poco de historia y cómo funciona en el avión.
Algunas de las proposiciones en el Libro I y el Libro II de los Elementos de Euclides se refieren a áreas de figuras planas: triángulos, paralelogramos, cuadrados y otros polígonos. Euclides usó implícitamente dos principios.
- Los triángulos congruentes tienen la misma área. (En la terminología de Euclides, son iguales. No usó una palabra para área).
- Si una figura se corta en dos por una línea, entonces el área de esa figura es la suma de las áreas de las dos figuras.
La teoría resultante de áreas puede llamarse una teoría de cortar y pegar. Su primer teorema Elementos de Euclides, Libro I, Proposición 34 declaró que un paralelogramo ABCD tiene el doble del área del triángulo ABC.
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Por Elementos de Euclides, Libro I, Proposición 45 Euclides podría construir un rectángulo con la misma área que cualquier polígono dado. Completó la teoría en Elementos de Euclides, Libro II, Proposición 14 en la que construyó un cuadrado con la misma área que cualquier polígono dado. Por cierto, la palabra “cuadratura” significa exactamente eso, construir un cuadrado con la misma área que una figura dada.
Entonces, en el plano, los métodos de cortar y pegar son suficientes para encontrar áreas de polígonos
El tercer problema de Hilbert
David Hilbert (1862–1943) propuso 23 problemas matemáticos en el Congreso Internacional de Matemáticos en París en 1900. El tercero fue la cuestión de los métodos de cortar y pegar para volúmenes. ¿Funcionan? ¿Incluso trabajan para tetraedros? Sabemos que el volumen de un tetraedro (es decir, una pirámide triangular) es igual a un tercio del área de su base por su altura. (Probado en Euclid’s Elements, Libro XII utilizando el método del agotamiento, la versión de límites de Euclides). ¿Pero puede determinarlo mediante métodos de cortar y pegar? Hilbert pensó que los métodos de cortar y pegar no eran suficientes. Aquí está el tercer problema de Hilbert:
En dos cartas a Gerling, Gauss expresa su pesar de que ciertos teoremas de geometría sólida dependen del método de agotamiento, es decir, en la fraseología moderna, del axioma de la continuidad (o del axioma de Arquímedes). Gauss menciona en particular el teorema de Euclides, que las pirámides triangulares de igual altitud se encuentran entre sí como sus bases. Ahora el problema análogo en el avión ha sido resuelto. Gerling también logró demostrar la igualdad de volumen de los poliedros simétricos al dividirlos en partes congruentes. Sin embargo, me parece probable que una prueba general de este tipo para el teorema de Euclides que acabamos de mencionar sea imposible, y debería ser nuestra tarea dar una prueba rigurosa de su imposibilidad. Esto se obtendría tan pronto como lográramos especificar dos tetraedros de bases iguales y altitudes iguales que de ninguna manera se pueden dividir en tetraedros congruentes, y que no se pueden combinar con tetraedros congruentes para formar dos poliedros que podrían separarse. en tetraedros congruentes.
La solución de Dehn
Max Dehn (1878–1952) fue alumno de Hilbert. Trabajó en este problema y lo resolvió en 1900. Encontró una invariante, algo que no fue cambiado por los métodos de cortar y pegar, pero que era diferente para diferentes tetraedros con los mismos volúmenes. Eso significa que los métodos de cortar y pegar no son suficientes para tratar volúmenes. Se necesitan métodos analíticos, como los límites.
¿Qué es esta invariante que encontró Dehn?
Deje [math] P [/ math] ser un poliedro. Tiene varios bordes. Cada arista [matemática] e [/ matemática] tiene una longitud [matemática] l (e) [/ matemática] y un ángulo diédrico [matemático] \ theta (e) [/ matemático] especificado hasta un múltiplo de 180 grados, o [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] radianes. La invariante de Dehn es la suma de todos los bordes.
[matemáticas] D (P) = \ sum_e l (e) \ otimes \ theta (e) [/ matemáticas]
La expresión [math] a \ otimes b [/ math] se llama tensor y es lineal en cada argumento. Eso significa
[matemáticas] (a_1 + a_2) \ otimes b = a_1 \ otimes b + a_2 \ otimes b [/ matemáticas]
y
[matemáticas] a \ otimes (b_1 + b_2) = a \ otimes b_1 + a \ otimes b_2 [/ matemáticas]
Dehn demostró que si descompone un poliedro [matemático] P [/ matemático] cortándolo, entonces [matemático] D (P) [/ matemático] es igual a la suma de los invariantes de Dehn de las piezas. Por lo tanto, si dos poliedros se pueden cortar en partes congruentes, entonces tienen el mismo invariante de Dehn.
También describió dos tetraedros con bases iguales y altitudes iguales que tienen valores diferentes para sus invariantes.
Mucho más tarde, en 1965, Jean-Pierre Sydler (1921-1988) demostró que dos poliedros son congruentes con las tijeras si y solo si tienen el mismo volumen y la misma invariante de Dehn.