¿Qué papel juega el teorema de Pitágoras en la transformación de Lorentz?

Answer 1

La transformación de Lorentz se desarrolló específicamente al estudiar la relación de un interferómetro en movimiento con respecto a un medio estacionario. Lorentz hizo esto como primer paso en el desarrollo de la teoría del éter de Lorentz (LET).

Lorentz creía que el éter creaba automáticamente una ilusión óptica a todas las velocidades. También creía que la velocidad de la luz era constante con respecto al medio, pero simplemente parecía ser constante con respecto a un observador en movimiento. Es decir, se comportó como cualquier otra ola en un medio, pero algo hizo que pareciera que no. Él creía que esto sucedió a través de un acortamiento físico del observador en movimiento. (interferómetro)

Para crear esta perspectiva, la ilusión es una simple aplicación de ángulos. Cuando tienes un haz de luz en un interferómetro de Michelson que se mueve en forma transversal y el otro se mueve hacia / con el viento, es una relación simple como un gráfico.

El haz transversal es como la hipotenusa de un triángulo rectángulo y el haz de luz que viaja hacia el viento es la pata inferior, mientras que la barra transversal real del interferómetro desempeña el papel de la tercera pata.

Cuando lo piensa, si se emite una señal esférica en un medio a medida que pasa un interferómetro (una perspectiva del experimento), solo hay un ángulo desde el centro de la emisión en el que esa señal golpeará el espejo transversal móvil para que Se puede reflejar de nuevo.

El punto de su formulación inicial fue que una emanación esférica de luz viaja de un lado a otro entre los espejos en movimiento pero llega simultáneamente al “origen” en movimiento y es importante tener en cuenta que esto es puramente mecánica clásica.

Por lo tanto, solo hay una longitud en la que se puede acortar el brazo co-móvil del interferómetro porque solo hay un ángulo en el que la señal original golpeará el espejo de la viga transversal.

Entonces, como puede ver en la imagen de arriba, es un hecho poco conocido que el factor de cambio en realidad se puede calcular a través de funciones de trigonometría. (factor de cambio para .5C = 1.1547)

Y las funciones trigonométricas están inseparablemente relacionadas con el teorema de Pitágoras.

Answer 2

Primero tenga en cuenta que el teorema de Pitágoras es un hecho sobre triángulos rectángulos, al menos es un hecho en el tipo particular de espacio 3D en el que vivimos. Lo que es especial para los triángulos rectángulos es que son la mitad de un triángulo isoceles Es decir, puede construir trivialmente un ángulo recto con solo una regla y una brújula; no necesita un transportador. Puede elegir dos longitudes arbitrarias para la media base y otros dos lados del triángulo isoceles y aún obtiene el mismo ángulo recto. Por lo tanto, hay un sentido en el que, considerando solo las longitudes, el 90 ° del ángulo recto sigue siendo el punto medio natural de los 180 ° desde una dirección a lo largo de una línea a la otra dirección a lo largo de la línea.

A su vez, eso significa que es una elección natural para relacionar los diferentes ejes en coordenadas cartesianas, de nuevo, al menos en el tipo particular de espacio 3D en el que vivimos. Después de haber elegido una dirección arbitraria como eje x, puede usar la construcción del triángulo isoceles para producir los ejes y y z mutuamente en ángulo recto. Y la recompensa por hacerlo es la simple medida de longitud basada en coordenadas que destaca Vardhan Thigle. Y si usa una matriz de rotación para transformar de un sistema de coordenadas cartesianas (digamos x, y, z) a otro con el mismo origen (digamos x ‘, y’, z ‘), los valores individuales x / y / z cambian, porque no son físicamente significativos de forma aislada, pero la longitud dada por la fórmula pitagórica se conserva, porque es físicamente significativa por sí misma.

En este contexto, la transformación de Lorentz es muy análoga a la matriz de rotación, teniendo en cuenta la “geometría” relacionada pero diferente que relaciona los ejes x y ct en las cuatro dimensiones del espacio-tiempo en comparación con la relación entre digamos x e y. Conserva el intervalo espacio-tiempo [matemática] \ Delta s = \ sqrt {c ^ 2 \ Delta t ^ 2- \ Delta x ^ 2- \ Delta y ^ 2- \ Delta z ^ 2} [/ matemática]. Esto es bueno, porque [matemática] \ Delta s [/ matemática] es físicamente significativa: al menos para [matemática] c ^ 2 \ Delta t ^ 2> \ Delta x ^ 2 + \ Delta y ^ 2 + \ Delta z ^ 2 [/ math], es lo que miden los relojes ideales. Y tiene esta forma simple bizzaro-pitagórica porque, por supuesto, ha seguido el consejo de Einstein y ha utilizado la convención de sincronización de Einstein para asegurarse de que sus ejes ct y x / y / z son lo que equivale a ángulos rectos. Y efectivamente, la convención de sincronización de Einstein es muy análoga a la construcción del triángulo isoceles. Al igual que con la construcción del triángulo isoceles, puede usar cualquier combinación de intervalos espacio-temporales para la media base y otros lados. Usar señales luminosas equivale a elegir longitudes del otro lado de 0 (!). Pero puede usar otras señales más lentas, por ejemplo, proyectiles de cañones estándar, siempre que el tiempo de espera y de regreso (medido por un reloj que se mueve conjuntamente) sea el mismo, y obtendrá la misma sincronización.

Answer 3

El teorema de Pitágoras para 3 dimensiones puede expresarse así:
Para una varilla de una longitud dada [matemática] L [/ matemática], para cualquier observador,
[matemática] L = (\ Delta X) ^ {2} + (\ Delta Y) ^ {2} + (\ Delta Z) ^ {2} [/ matemática]. Esta [matemática] L [/ matemática] es constante independientemente de cómo rotan los diferentes observadores (sus ejes de coordenadas) entre sí. Si un observador gira con respecto a otro, uno o 2 de los 3 componentes disminuyen y el tercero aumenta manteniendo la longitud constante.

Para 4 dimensiones, las transformaciones de Lorentz nos dan la relación de varianza,
Para un par de eventos dado,
[matemáticas] (\ Delta S) ^ {2} = (\ Delta X) ^ {2} + (\ Delta Y) ^ {2} + (\ Delta Z) ^ {2} – c ^ {2} (\ Delta T) ^ {2} [/ matemáticas]. Esta [matemática] \ Delta S [/ matemática] es constante independientemente de cómo se muevan los diferentes observadores inerciales.

Esto es bastante parecido a un teorema de Pitágoras en 4 dimensiones pero con el tiempo teniendo un signo -ve.

Answer 4

Para empezar, la circunferencia = [matemáticas] \ pi \ veces D [/ matemáticas], funciona solo para el espacio euclidiano.
El movimiento acelerado está modelado por una geometría no euclidiana, donde la noción de “círculo” es más complicada.
Eso se extiende a la trigonometría y especialmente al teorema de Pitágoras, que se define para planos planos en el espacio euclidiano.
Vía Un comentario de respuesta de Joshua. (cf.: paradoja de Ehrenfest)