Geometría: ¿Existe una fórmula para calcular el área de un polígono dadas sus longitudes laterales y medidas de ángulo?

Answer 1

Sí, puede haber una fórmula para eso … ¡hagamos una!

Si la longitud del lado es b y el número de lados es m, puede calcular el área de triángulos isósceles congruentes de ángulo 360 / mo 2pi / m con la base b y multiplicar por m para encontrar el área total del polígono más grande.

Para ilustrar mi punto, imagine que un cuadrado (m = 4) con lados de longitud 10 (b = 10) está formado por cuatro triángulos con un punto común en su centro y las 4 bases idénticas que forman las 4 paredes del cuadrado. Estos triángulos tienen ángulos comunes de 90,45,45 grados, lo que hace que la altura de este triángulo sea la mitad de su base. Si el cuadrado tiene lados de longitud 10, entonces los triángulos serán área 10 * 5/2 (base * altura / 2) = 25 y luego * 4 para encontrar el área del cuadrado. 100 es el área del cuadrado que ya era fácil de encontrar con los lados 10, pero este método, aunque demasiado complejo para los cuadrados, también funcionará para otros polígonos como pentágonos, septagones, icoságonos, 99agones, etc.

El área de estos triángulos es A = b ^ 2 / (4 * tan (pi / m))

El área del polígono más grande es A = mb ^ 2 / (4 * tan (pi / m))

Para b = 1, la tabla para los primeros diez polígonos es

mamá

3: 0,43

4: 1.00

5: 1.72

6: 2.60

7: 3,63

8: 4.83

9: 6.18

10: 7.69

11: 9.37

12: 11.20

Estas áreas se escalarán por un factor de b ^ 2

No use 180 radianes o grados Pi

Answer 2

Dadas las longitudes de los lados y los ángulos entre los lados, puede encontrar el área de cualquier polígono colocándolo en un sistema de coordenadas cartesianas, encontrando un par de coordenadas para cada vértice (p. Ej. (X1, y1)) y luego usando el Algoritmo de cordones.