Geometría: Matemáticas: en términos simples, ¿por qué hay exactamente cinco sólidos platónicos?

Answer 1

Puedes probarlo por la fuerza bruta, algo como esto:

Considere las caras sobre un solo vértice poliedro; ¿Cuál es la suma de los ángulos de los vértices poligonales? (Llame a esta suma el ‘ángulo total’ de un vértice)

Ejemplo: tetraedro regular
Un solo vértice tiene tres triángulos regulares, con un ángulo total de 60 + 60 + 60 = 180.

Prueba:

1. La regularidad en caras y vértices implica regularidad en los bordes.
2. La regularidad en los bordes implica convexidad.
3. La convexidad implica que el ángulo total de cada vértice es menor que 360.
4. Cada vértice debe tener al menos 3 caras al respecto.

Pregunta: ¿Qué polígonos regulares pueden satisfacer tanto (3) como (4)?
Respuesta: solo el triángulo, el cuadrado y el pentágono. ( n -gons para n > 5 tienen ángulo de vértice> = 120, por lo que tres de ellos darán el ángulo total de vértice> = 360)

Pregunta: ¿Cuántos triángulos podemos organizar sobre un vértice, manteniendo un ángulo total <360?
Respuesta: 3 (tetraedro), 4 (octaedro) o 5 (icosaedro). Seis es demasiado.

Pregunta: ¿Cuántos cuadrados podemos organizar sobre un vértice?
Respuesta: 3 (cubo). Cuatro es demasiado

Pregunta: ¿Cuántos pentágonos podemos organizar sobre un vértice?
Respuesta: 3 (dodecaedro). Cuatro es demasiado

Como esos cinco son los únicos arreglos posibles de los únicos polígonos posibles, comprenden solo los sólidos platónicos posibles.

Answer 2

Comenzamos con el famoso resultado de Euler: dado un montón de “blobs” (con lo que quiero decir, figuras conectadas sin agujeros), tenemos que #vertices – #edges + #faces – # células sólidas (+ etc., si hay estructura de dimensiones superiores) = #blobs. [¿Porqué es eso? En términos generales, esto se debe a que 2 vértices conectados por un borde forman una sola gota (de modo que, en cierto sentido, los bordes cancelan los vértices), y todos los análogos de dimensiones superiores de esta retención también (de modo que, en el mismo sentido , cada dimensión de celda cancela las celdas de una dimensión inferior)]

Como solo estamos interesados ​​en un solo sólido, tendremos #vertices – #edges + #faces – 1 = 1. Es decir, #vertices + #faces = 2 + #edges.

Pero si cada borde conecta 2 vértices y cada vértice tiene X bordes, entonces 2 * #edges = X * #vertices.

Y si cada borde conecta 2 caras y cada cara tiene bordes Y, entonces 2 * #edges = Y * #faces.

Entonces encontramos que necesitamos 2 * # bordes / X + 2 * # bordes / Y = 2 + #edges> #edges.

Al dividir #edges, encontramos 2 / X + 2 / Y> 1, es decir, 1 / X + 1 / Y> 1/2.

Pero el único entero (X, Y) tal que 1 / X + 1 / Y> 1/2 mientras que X, Y> 2 son (3, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 5) y (5, 3), que corresponden al tetraedro (3 bordes a un punto, 3 bordes a una cara), cubo (3 bordes a un punto, 4 bordes a una cara), octaedro (4 bordes a un punto, 3 bordes a una cara), dodecaedro (3 bordes a un punto, 5 bordes a una cara) e icosaedro (5 bordes a un punto, 3 bordes a una cara). Por lo tanto, esos son los únicos cinco sólidos platónicos.

Answer 3

Imagine diferentes formas en que los polígonos regulares pueden encajar.

¿Cuál es el número máximo de lados que puede tener un polígono regular y ser una cara de un poliedro regular?

La respuesta a eso es 5, porque un hexágono encaja con otros hexágonos de manera uniforme en un avión. Un hexágono regular no puede ser una cara de un poliedro regular porque si tuviera caras hexagonales, no coincidiría sin ajustar las caras y los ángulos para que sean desiguales.

Entonces un dodecaedro sería el poliedro regular que tiene caras formadas por un polígono con 5 lados.

Un montón de triángulos puede caber en una superficie de muchas maneras. Lo máximo que pueden encajar sería en una forma de hacer un hexágono. Por lo tanto, un conjunto de cinco triángulos reunidos en un vértice sería lo máximo que podría tener un poliedro regular. Esto sería un icosaedro.

Esos son los límites superiores para caras y vértices de un poliedro regular. Entonces, ahora que los conocemos, podemos pensar en los demás. ¿Qué tal triángulos regulares donde 3 o 4 de ellos se encuentran en un vértice? Eso nos da el octaedro y el tetraedro. Esas son todas las posibilidades para una cara que es un triángulo. Con una cara cuadrada tendríamos el cubo. Y eso es todo lo que puede haber.

Tetraedro
Octaedro
Cuadrado
Dodecaedro
Icossaedro