Geometría: ¿Por qué las funciones trigonométricas tienen propiedades diferentes de otras funciones?

La respuesta directa es que las funciones trigonométricas (también llamadas funciones circulares) no son funciones lineales .

Las funciones lineales [1] de hecho obedecen la regla general

[matemáticas] f (ax + by) = af (x) + bf (y) [/ matemáticas]

De hecho, esta propiedad es parte de la definición de una función lineal.

Pero las funciones lineales son bastante especiales a este respecto; tipos más generales de función no obedecen esta regla.

Por ejemplo, considere la función cuadrática más simple

[matemáticas] f (x) = x ^ 2. [/ matemáticas]

Si reemplazamos x con ax + por, tenemos

[matemáticas] f (ax + by) = (ax + by) ^ 2 = a ^ 2x ^ 2 + 2abxy + b ^ 2y ^ 2 [/ math]

mientras

[matemáticas] af (x) + bf (y) = ax ^ 2 + por ^ 2. [/ matemáticas]

Claramente, los dos resultados difieren, sobre todo debido a la aparición del ‘término cruzado’ o ‘término mixto’, que contiene tanto x como y, es decir, 2abxy. Y para las funciones que involucran poderes superiores del argumento, la diferencia es aún mayor.

Una función general se puede expresar como un polinomio [2] de grado (finito) k (es decir, la potencia más alta del argumento que aparece en el polinomio es la potencia k (donde k es finito)), o como un ‘polinomio infinito’, conocido como una serie infinita, o simplemente una ‘serie’ [3], donde, como su nombre lo indica, el polinomio tiene un número infinito de términos y no hay un poder ‘más alto’ del argumento, porque todos los poderes posibles del argumento podría estar presente (siempre que sus coeficientes sean distintos de cero). Claramente, las funciones de este tipo general pueden ser extremadamente no lineales. Solo imagine el número de términos cruzados en la expansión de una función como

[matemáticas] f (x) = ax + bx ^ 2 + cx ^ 3 +…. + dx ^ k [/ matemáticas]

si realizó el reemplazo x -> x + y!

Bueno, las funciones trigonométricas son altamente no lineales, porque en realidad representan series infinitas:

[matemáticas] cos (x) = x – \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 5} {5!} – \ frac {x ^ 7} {7!} +… [/ matemáticas ]

[matemáticas] sin (x) = 1 – \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 4} {4!} – \ frac {x ^ 6} {6!} +… [/ matemáticas ]

donde n! = n (n-1) (n-2) … 1, pronunciado ‘n factorial’ o ‘factorial n’, de modo que, por ejemplo, 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1, etc.

Estas series pueden derivarse de la representación de cos y sin en términos de la función exponencial compleja exp (ix):

[matemática] cos (x) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} [/ matemática]

[matemática] sin (x) = \ frac {e ^ {ix} – e ^ {- ix}} {2i} [/ matemática]

donde [matemáticas] i = \ sqrt {-1}, [/ matemáticas]

así que eso

[matemáticas] i ^ 2 = -1, i ^ 3 = -i, i ^ 4 = +1, etc., [/ matemáticas]

y

[matemáticas] e ^ {x} = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 4} {4!} +… .[/matemáticas]

Armado con solo las fórmulas anteriores, puede derivar o probar todas las identidades conocidas (expresiones de equivalencia que siempre son verdaderas) para funciones trigonométricas, como la que la pregunta citó:

[matemática] sin (A + B) = sinAcosB + cosAsinB [/ matemática]

De hecho, si no está familiarizado con las representaciones anteriores, ¡lo invito a jugar con ellas, como un ejercicio, para que pueda apreciar su poder y elegancia!

[1] Función lineal
[2] Polinomio
[3] Serie (matemáticas)
[4] Funciones trigonométricas

Algunas funciones son lineales y otras no. Las funciones trigonométricas simplemente no lo son.

No estoy seguro de por qué te sorprenderías de eso. Hay infinitas funciones, de las cuales las lineales representan un subconjunto muy restringido. De hecho, no estoy seguro de por qué asumirías que “otras funciones” siguen a f (A + B) = f (A) + f (B). Ellos no. No lo hacen y no lo harán hasta que defina qué es “otras funciones”.

Además, cada función siempre es única por sí misma: siempre se puede definir un conjunto arbitrario de medidas a través de las cuales se puede decir que su función es única de “otros”.

Ahora, si la verdadera pregunta que quería hacer es “¿por qué las funciones trigonométricas no pueden ser lineales?”, Entonces esto es lo siguiente:
* seno y coseno miden las coordenadas x e y de un punto que gira en un plano cartesiano alrededor del centro. Por lo general, la linealidad tiene un sabor de “rectitud”, por lo que cuando las cosas se tuercen y se curvan, su mejor suposición es que el resultado no será una función lineal de las entradas.
* las funciones trigonométricas suelen tener dominios ilimitados y dominios limitados. Excepto en casos muy triviales (como la función constante f (x) = 0), esto entraría en conflicto con la restricción de linealidad f (A + B) = f (A) + f (B).
* todas las demás funciones trigonométricas se basan en seno y coseno, y es muy poco probable que al combinar funciones no lineales se termine con una función lineal.

En general, generalmente encuentro preguntas del tipo “¿por qué X es así?” bastante discutible No siempre, pero a menudo lo suficiente como para hacer una nota al margen. Especialmente cuando se habla de realidades absolutas, como la velocidad de la luz, la existencia de materia / estrellas / vida, o en este caso, funciones trigonométricas. En estos casos, la respuesta es típicamente “Simplemente es. No todo tiene una razón, algunas cosas son como son simplemente porque así son en este universo”.

Al tratar de comprender estas realidades absolutas, a menudo es más fructífero hacer preguntas sobre los * efectos * y no las * causas *.