La respuesta directa es que las funciones trigonométricas (también llamadas funciones circulares) no son funciones lineales .
Las funciones lineales [1] de hecho obedecen la regla general
[matemáticas] f (ax + by) = af (x) + bf (y) [/ matemáticas]
De hecho, esta propiedad es parte de la definición de una función lineal.
- Geometría: ¿Existe una fórmula para calcular el área de un polígono dadas sus longitudes laterales y medidas de ángulo?
- Geometría: Matemáticas: en términos simples, ¿por qué hay exactamente cinco sólidos platónicos?
- ¿Cuál es la diferencia entre la traducción de Heath de Euclid’s Elements y otras ediciones del mismo libro?
- Geometría: ¿Cuáles son las pruebas geométricas más elegantes?
- ¿Por qué la forma de una rosquilla es un TORUS?
Pero las funciones lineales son bastante especiales a este respecto; tipos más generales de función no obedecen esta regla.
Por ejemplo, considere la función cuadrática más simple
[matemáticas] f (x) = x ^ 2. [/ matemáticas]
Si reemplazamos x con ax + por, tenemos
[matemáticas] f (ax + by) = (ax + by) ^ 2 = a ^ 2x ^ 2 + 2abxy + b ^ 2y ^ 2 [/ math]
mientras
[matemáticas] af (x) + bf (y) = ax ^ 2 + por ^ 2. [/ matemáticas]
Claramente, los dos resultados difieren, sobre todo debido a la aparición del ‘término cruzado’ o ‘término mixto’, que contiene tanto x como y, es decir, 2abxy. Y para las funciones que involucran poderes superiores del argumento, la diferencia es aún mayor.
Una función general se puede expresar como un polinomio [2] de grado (finito) k (es decir, la potencia más alta del argumento que aparece en el polinomio es la potencia k (donde k es finito)), o como un ‘polinomio infinito’, conocido como una serie infinita, o simplemente una ‘serie’ [3], donde, como su nombre lo indica, el polinomio tiene un número infinito de términos y no hay un poder ‘más alto’ del argumento, porque todos los poderes posibles del argumento podría estar presente (siempre que sus coeficientes sean distintos de cero). Claramente, las funciones de este tipo general pueden ser extremadamente no lineales. Solo imagine el número de términos cruzados en la expansión de una función como
[matemáticas] f (x) = ax + bx ^ 2 + cx ^ 3 +…. + dx ^ k [/ matemáticas]
si realizó el reemplazo x -> x + y!
Bueno, las funciones trigonométricas son altamente no lineales, porque en realidad representan series infinitas:
[matemáticas] cos (x) = x – \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 5} {5!} – \ frac {x ^ 7} {7!} +… [/ matemáticas ]
[matemáticas] sin (x) = 1 – \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 4} {4!} – \ frac {x ^ 6} {6!} +… [/ matemáticas ]
donde n! = n (n-1) (n-2) … 1, pronunciado ‘n factorial’ o ‘factorial n’, de modo que, por ejemplo, 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1, etc.
Estas series pueden derivarse de la representación de cos y sin en términos de la función exponencial compleja exp (ix):
[matemática] cos (x) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} [/ matemática]
[matemática] sin (x) = \ frac {e ^ {ix} – e ^ {- ix}} {2i} [/ matemática]
donde [matemáticas] i = \ sqrt {-1}, [/ matemáticas]
así que eso
[matemáticas] i ^ 2 = -1, i ^ 3 = -i, i ^ 4 = +1, etc., [/ matemáticas]
y
[matemáticas] e ^ {x} = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 4} {4!} +… .[/matemáticas]
Armado con solo las fórmulas anteriores, puede derivar o probar todas las identidades conocidas (expresiones de equivalencia que siempre son verdaderas) para funciones trigonométricas, como la que la pregunta citó:
[matemática] sin (A + B) = sinAcosB + cosAsinB [/ matemática]
De hecho, si no está familiarizado con las representaciones anteriores, ¡lo invito a jugar con ellas, como un ejercicio, para que pueda apreciar su poder y elegancia!
[1] Función lineal
[2] Polinomio
[3] Serie (matemáticas)
[4] Funciones trigonométricas