Sea [math] f [/ math] la función de [math] \ N \ to \ N [/ math] tal [math] f (x) [/ math] es la suma de los dígitos en la expansión decimal de [matemática] x [/ matemática], cada una elevada a [matemática] 2001 ^ {st} [/ matemática] potencia (p. ej. [matemática] f (327) = 3 ^ {2001} + 2 ^ {2001} + 7 ^ { 2001}) [/ matemáticas]. ¿Cómo se prueba que por cada [matemáticas] x [/ matemáticas], el conjunto [matemáticas] {f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), …} [/ matemáticas] es finito?

Answer 1

Encontremos un número con solo 9 como dígitos [matemática] a = 10 ^ k – 1 [/ matemática] tal que [matemática] f (a) <a [/ matemática]:

[matemáticas] f (10 ^ k – 1) = k \ veces 9 ^ {2001} <10 ^ k – 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Leftrightarrow k \ ge 1913 [/ matemáticas] (ver k * 9 ^ 2001 <10 ^ k)

Considere ahora un número [matemático] b [/ matemático] con [matemático] 1913 + i [/ matemático] dígitos, donde [matemático] i [/ matemático] es cualquier número natural. Tenemos [math] f (b) \ le (1913 + i) \ times 9 ^ {2001} [/ math] (ya que el valor máximo de [math] f (b) [/ math] se alcanza cuando todos los dígitos de [math] b [/ math] son ​​9s) y [math] (1913 + i) \ times 9 ^ {2001} <10 ^ {1913 + i} – 1 [/ math] (según la solución de nuestra desigualdad encima). Esto significa que [matemática] f (b) <10 ^ {1913 + i} – 1 [/ matemática] o, en otras palabras, que [matemática] f (b) [/ matemática] es un número con como máximo [matemática ] 1913 + i [/ matemáticas] dígitos. Entonces, aplicando [math] f [/ math] un número infinito de veces producirá valores que están limitados.

Además, si comenzamos con valores pequeños (con [math] 1912 [/ math] dígitos o menos), la secuencia nunca alcanza un valor grande (en cuyo caso está limitado por definición) o alcanza un valor grande ( en cuyo caso está limitado por la parte anterior de la prueba).

Dado que un conjunto limitado de números naturales debe ser finito, esto concluye nuestra prueba.

Answer 2

Se puede pensar en estas líneas que cada dígito tiene una ciclicidad definida cuando se trata de encontrar su poder. Al igual que el dígito 3 de la unidad tiene una ciclicidad de 4 y el dígito de diez tiene una ciclicidad de 5. De manera similar, debido a estos patrones de ciclicidad, puede obtener patrones repetidos de dígitos en términos correspondientes y esto puede llevar a que este conjunto sea finito.