Álgebra lineal: ¿cuántos subespacios unidimensionales distintos hay en un espacio vectorial n-dimensional sobre el campo finito de orden q?

Incluso puede resolverlo para un caso general de subespacios k-dim en un espacio n-dim sobre un campo finito de orden q.
Suponga que k <= n
1) Primero encuentre el número de k vectores linealmente independientes en un espacio vectorial n-tenue sobre un campo de orden q. Este número es más o menos así: elija el primer vector de [matemática] q ^ n – 1 [/ matemática], el segundo vector linealmente independiente de [matemática] q ^ n – q [/ matemática]; tercer vector en [matemáticas] q ^ n – q ^ 2 [/ matemáticas] formas y así sucesivamente. Entonces este número se convierte en [matemáticas] \ frac {(q ^ n – 1) (q ^ n – q) (q ^ n – q ^ 2) \ cdots (q ^ n – q ^ {k -1})} { k!} [/ matemáticas].

2) Pero muchas bases pueden dar lugar al mismo espacio vectorial, por lo que encontramos cuántas bases puede tener un espacio vectorial de dimensión k. Esto se calcula de la misma manera que arriba: [matemáticas] \ frac {(q ^ k – 1) (q ^ k – q) (q ^ k – q ^ 2) \ cdots (q ^ k – q ^ {k – 1})} {k!} [/ Math].

3) Divida el número encontrado en 1) por el número en 2) para obtener la respuesta que popularmente se llama coeficiente binomial gaussiano.

Puede obtener respuesta a su caso específico poniendo k = 1.

Tiene [matemáticas] q ^ n-1 [/ matemáticas] elementos distintos de cero en el espacio vectorial. Cada uno de ellos está exactamente en un subespacio unidimensional. Cada subespacio contiene el elemento cero más [math] q-1 [/ math] elementos distintos de cero. Entonces llegamos a [math] \ frac {q ^ n-1} {q-1} = 1 + q + q ^ 2 + \ cdots + q ^ {n-1} [/ math] subespacios unidimensionales.