¿Cuál es el significado de la descomposición propia?

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Una respuesta completa a esta pregunta es una gran cosa. Pero aquí hay una manera de visualizar lo que sucede cuando descompone una matriz diagonalizable en sus vectores y valores propios. (Esto es más como una respuesta de “explicación intuitiva”, por lo que si estaba buscando algo más formal, podría ser algo elemental).

Piense en una matriz A como un operador lineal. Tienes un vector x, golpeas x con A y regresas b. Ahora b es una combinación de rotación, estiramiento y reflejo de x. Ahora hay algunos vectores especiales x llamados vectores propios . Tienen la siguiente propiedad genial: cuando los golpeas con A, regresas ab como de costumbre, pero para estos vectores b es solo un múltiplo escalar de x. El escalar se llama un valor propio de A. Entonces, si el valor propio es positivo, entonces A simplemente estira (o acorta) x, y si es negativo, lo estira y lo señala en la dirección opuesta.

Ahora, ¿por qué debería importarnos? Porque existe esta buena propiedad de que los vectores propios de la matriz forman una base para el espacio. Además, en base a los vectores propios, A es una matriz diagonal que consiste en sus valores propios, lo que significa que las únicas entradas de A que no son cero son las que están a lo largo de la diagonal y esas entradas son los valores propios. Hay muchas maneras de usar estos hechos; resolviendo sistemas de ecuaciones diferenciales, ecuaciones diferenciales parciales, sistemas lineales, aplicando matrices muchas veces, etc. Pero fundamentalmente el punto es que podemos exponer parte de la estructura subyacente de la matriz al encontrar una base en la que es diagonal.