De alguna manera, todos dependen del producto punto:
El producto escalar se define como [matemáticas] x \ cdot y = \ sum_ {i = 1} ^ N x_i y_i [/ matemáticas].
Hay muchas normas a las que uno puede referirse, pero la más común es la norma euclidiana, también llamada norma 2, definida en función del producto escalar como [matemáticas] \ | x \ | _2 = \ sqrt {x \ cdot x} [/ math].
Hay muchas nociones posibles de distancia, pero la distancia euclidiana se define en términos de la norma 2, como [matemática] d (x, y) = \ | x- y \ | _2 [/ math] [math] = \ sqrt {(x – y) \ cdot (x – y)} [/ math] [math] = \ sqrt {x \ cdot x + y \ cdot y -2 x \ cdot y} [/ math].
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EDITAR: Más detalles, dada la conversación en los comentarios.
Bueno, si estás interesado en una interpretación geométrica, limitaré lo siguiente a los espacios R2 y R3.
Producto de punto
El producto punto [math] x \ cdot x [/ math] es fácilmente interpretable en función de las longitudes y orientación de los vectores. Además de su definición, [math] x \ cdot y = \ sum_ {i = 1} ^ N x_i y_i [/ math], el producto de puntos también se puede calcular como [math] x \ cdot y = \ | x \ | \ | y \ | cos (\ alpha) [/ math], donde [math] \ alpha [/ math] es el ángulo entre los vectores. Aunque esta última ecuación puede ser confusa, ya que la norma en sí se define usando el producto escalar, puede resolver esto simplemente interpretándolo como “longitud”.
Si elige [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] para tener una longitud unitaria, entonces el producto de punto [matemática] x \ cdot y = cos (\ alpha) [/ matemática], que, si conoces tu trigonometría básica, simplemente representa la longitud de la proyección de uno de los vectores sobre el otro.
Se puede lograr otra muy buena interpretación de [math] x \ cdot x [/ math] fijando uno de los parámetros e interpretando como una función del otro, es decir, estudiando la función [math] f_y (x) = x \ cdot y [/ math]. Si trata [math] y [/ math] como una constante, observará que [math] f_y (x) [/ math] es una función lineal de [math] x [/ math]. Esto ya dice mucho.
En mi humilde opinión, la mejor manera de seguir entendiendo lo que significa [matemática] x \ cdot y [/ matemática] es continuar y experimentar durante media hora más o menos con este simple applet: Dot Product. Observe cómo la función [math] f_y (x) [/ math] tiene un número infinito de líneas equipotenciales que corren perpendiculares a [math] y [/ math], y que el valor de la función aumenta cada vez que se mueve en la dirección general de vector [math] y [/ math], y disminuye si te mueves en la dirección opuesta general.
Norma
La norma se interpreta geométricamente como la longitud de un vector. Es fácilmente verificable que su definición [matemática] \ | x \ | = \ sqrt {x \ cdot x} [/ math] es solo una generalización del teorema de Pitágora que encuentra la longitud de la hipotenusa [math] c [/ math] de un triángulo rectángulo con lados [math] a [/ math ] y [matemáticas] b [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] c = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} [/ matemáticas].
Las distancias son probablemente las más fáciles, porque estamos en un nivel de abstracción que estamos familiarizados con nuestro uso diario. Utilizamos la noción de distancia entre dos puntos A y B para significar la longitud del vector que va de A a B. Esto se define directamente en geometría como [matemática] d (x, y) = \ | x -y \ | [/ math].