¿Hay algún significado geométrico de la multiplicación de matriz compleja?

Answer 1

Absolutamente. La multiplicación de matrices se usa específicamente en el campo de los gráficos. Y muchas operaciones relacionadas con los gráficos se realizan mediante la multiplicación de matrices.

Digamos, por ejemplo,
En Photoshop, estira una imagen. Entonces, básicamente, lo que estamos haciendo es la multiplicación del factor de escala (S) con las coordenadas (de píxeles)

Del mismo modo, cuando gira una imagen en un cierto grado, en realidad multiplica las coordenadas con una matriz que contiene muchos términos de pecado y coseno

Uno más, ¿Alguna vez has notado, que el orden de transformación de la imagen no importa? Es decir, si primero escala la imagen, luego la mueve y luego gira, obtendrá el mismo resultado incluso si cambia el orden. Esto se debe a la propiedad asociativa y conmutativa de la multiplicación de matrices.
A (BC) = (AB) C y AB = (BA)

Answer 2

Una multiplicación matricial es la aplicación de una función en un conjunto dado de puntos, de modo que los puntos se asignan o se aplastan a un nuevo espacio o simplemente experimentan una transformación afín.

Supongamos que desea comprender la multiplicación de matrices definida por
[math] \ mathbf {X_ {a \ times b} \ times Y_ {b \ times c}} [/ math].

Aquí ‘a’ representa las filas de la matriz X, es decir, el número de puntos en el espacio [matemática] R ^ b [/ matemática]. Este número de puntos no va a cambiar en una multiplicación de matriz ya que el producto final siempre tendrá filas ‘a’.

Lo que puede ver es que cada columna de la matriz Y define una función / transformación que actuará sobre el conjunto original de puntos . (Igual al número de filas en la primera matriz)

Ahora, dependiendo del valor de ‘c’, tiene estos casos,

• [matemática] c
• [matemáticas] c> b [/ matemáticas], esto significa que los datos ahora se asignan a un espacio dimensional superior. No estoy seguro de si lo sabría, pero puede pensar en esto como una operación de kernel, donde proyecta los datos en un espacio dimensional superior. Ejemplo, si su punto original es [matemática] (x, y) [/ matemática] ahora se convierte en [matemática] (x, y, x + y) [/ matemática]
• [matemática] c = b [/ matemática] Este es el caso, cuando los puntos de entrada experimentan una transformación lineal en el espacio original. es decir, un cuadrado se convierte en un rectángulo, un cuadrado girado, un trapecio, etc. (estiramiento, rotación, inclinación)

Answer 3

Bueno, una matriz representa una transformación lineal, y el producto de dos matrices es la matriz asociada a la composición de esa operación. (Esta es la razón por la que la multiplicación de matrices se define de la manera que es). Entonces, por ejemplo, si la matriz A representa una rotación y la matriz B representa un estiramiento, entonces la matriz AB representa un estiramiento seguido de una rotación.