Descomposición propia: ¿Qué sucede con los valores propios y los vectores propios después de que dos matrices se suman? ¿Los valores propios y los vectores propios de estas dos matrices también se sumarán linealmente?

Los valores propios y los vectores propios de la suma de dos matrices no son, en general, sumas de los valores propios o vectores propios de las matrices individuales. De hecho, no hay forma de expresar los valores propios de [matemáticas] A + B [/ matemáticas] de los de [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas].

Si un vector [math] v [/ math] resulta ser un vector propio de [math] A [/ math] y [math] B [/ math], entonces también será un vector propio de [math] A + B [/ math], con un valor propio que equivale a la suma de sus valores propios para [math] A [/ math] y [math] B [/ math] respectivamente. Pero, en general, no hay razón para esperar que dos matrices tengan un vector propio común. Si solo toma un vector propio arbitrario de [matemática] A [/ matemática] y un vector propio arbitrario de [matemática] B [/ matemática], no hay forma de fabricarles un vector propio de [matemática] A + B [/ matemática] .

Una excepción importante a esto es cuando las matrices [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas] pasan a conmutar , es decir, satisfacen [matemáticas] AB = BA [/ matemáticas]. En este caso, comparten los mismos espacios invariantes, y si ambos son diagonalizables, entonces son diagonalizables simultáneamente, lo que significa que comparten los mismos vectores propios. En este caso particular, como se mencionó anteriormente, los vectores propios de [matemáticas] A + B [/ matemáticas] también son los mismos.